2018年一级结构工程师《理论力学》复习点：分析力学

　　分析力学

　　明白分析力学与牛顿力学，研究对象都是宏观物体，任务都是解决宏观物体的运动规律，但所采用的方法很不相同，在牛顿力学中，最重要的量是力和加速度，矢量性很强，除了动能定理和机械能守恒定律外，几乎都是矢量式，因此务必要建立适当的坐标系，若是动力学则要进行准确的受力分析，把矢量式变为分量式;若是运动学，则矢量用分量来表达(如前面的转动参照系运动学)，才能求解。而分析力学中最重要的是能量，即动能和势能，其次确定系统的自由度，进而确定广义坐标，用广义坐标来表示能量等函数，是十分重要的一步，因而标量性很明显，当然有时也免不了要受力分析，毕竟是力学。

　　一、约束与广义坐标

　　分析力学的研究对象：主要是相互作用着的大量质点组成的质点系，我们常见的就是特殊的质点系刚体，我们称为力学体系。单个质点当然也可用分析力学处理，不过，有时反使问题复杂化，因它的优势在于处理复杂体系，一方面用广义坐标(独立坐标)来描述力学体系使方程数减少，一方面消除未知的约束反力(目标是求解力学体系的运动规律，而不是约束反力).

　　1, 约束

　　限制力学体系中质点自由运动的条件，通常为坐标，速度，时间的函数，该函数我们称为约束方程，简称约束

　　按照下面不同的划分标准，分为：

　　1) 限制质点空间位置的约束是否显含时间

　　1) 限制质点空间位置的约束是否可解

　　始终不能脱离约束曲面(曲线)的约束，是不可解约束，用等式表示

　　3)是否限制质点的速度

　　不仅限制质点的坐标，而且限制质点的速度，是微分约束;可积分为几何约束的微分约束也为完整约束，所以完成约束包括几何约束(不可解约束)和可积分为几何约束的微分约束;而非完成约束则包括可解约束和不能积分为几何约束的微分约束，受完整约束的力学体系是完成系，反之是非完整系，我们主要研究完整系。

　　我们注意到，上面分类中有相互包含的情况，如同一个约束，即可是稳定约束，也可是不可解约束，还可是几何约束;可解约束只能是非完整约束。

　　1， 广义坐标

　　若一个有3n个质点组成的力学体系受到k个几何约束，则描述其空间位形的独立坐标数只需3n-k个，此时力学体系的自由度和独立坐标数相等，若有微分约束，则自由度数可小于独立坐标数，我们研究的是几何约束

　　这3n-k=s个独立坐标，称其为是广义坐标，每一质点的三个直角坐标都可用这s个独立坐标来表示，于是整个力体系的空间位形当然就只需s个独立坐标来描述

　　明确位矢是广义坐标和时间的显函数，若不是时间的显函数是稳定约束的情况。广义坐标，既然称广义，它可以是长度，还可是角度等，只需满足和广义力的乘积具有功的量纲或者说具有功的形式

　　二， 虚功原理

　　1. 几个基本概念

　　1) 实位移与虚位移的区别和联系

　　实位移是实实在在由真实运动而发生的位移，必然经历时间，且受运动规律(初始条件和受力情况，所以已包含了约束条件)的限制，只有一个，用表示;而虚位移则是在某一时刻，约束所许可的条件下，假象的可能发生的位移，可能由无数多个，且不经历时间，不受真实运动的影响，由约束条件和该时刻所在位置决定，用表示;当在稳定约束的情况下，实位移是诸多虚位移中的一个

　　2)虚功

　　所有主动力和约束反力在任意的虚位移所做的元功之和，与虚位移相应，物功能转化，也不需经历时间

　　3)理想约束 若某一力学体系的所有约束反力在任意虚位移所做元功之和为零

　　2，虚功原理

　　研究对象是受理性的稳定的约束且处于静止状态的力学体系，研究任务，是解决该类体系的静力学平衡问题

　　三 (重点考查)拉格朗日方程

　　是在达郎贝尔原理(把动力学问题转为静力学问题的原理)和虚功原理的基础上推导的

　　1基本形式的拉格朗日方程

　　2 保守力系下(主动力是保守力)的拉格朗日方程

　　3 拉格朗日方程的应用

　　应用拉格朗日方程解题的一般步骤：

　　(1)明确是否是受理想完整约束的力学体系

　　(2)判断力学体系的自由度(确定广义坐标数)

　　(3)选广义坐标(根据题意，需要灵活选取)，数目与自由度相等

　　(4)计算系统的动能，且用广义速度，广义坐标来表示

　　(5)对非保守系计算广义力，对保守系计算势能(用广义坐标表示)

　　(6)代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，进而求得运动

　　4 循环积分和能量积分

　　都是针对保守力系，

　　四 哈密顿正则方程

　　五、泊松括号与哈密顿原理

　　1，泊松括号

　　3 哈密顿原理

　　仅研究保守力系作用下的哈密顿原理

　　与拉格朗日方程一样，是在由s个广义坐标所描述的s维位形空间中研究力学体系的运动规律，s维位形空间与时间t构成了s+1维空间，它是采用变分的思想从多种可能轨道中挑出真是轨道。

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