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2017年西藏高考数学基础练习(五)

来源 :中华考试网 2016-12-16

4.(2015·合肥质检)已知函数f(x)=x+x(1(x>0),以点(n,f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*),直线x=n+1与函数y=f(x)图像及切线ln分别相交于An,Bn,记an=|AnBn|。

(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式;

(2)设数列{nan}的前n项和为Sn,求证:Sn<1。

解 (1)对f(x)=x+x(1(x>0)求导,得f′(x)=1-x2(1,

则切线ln的方程为y-n(1=n2(1(x-n),

即y=n2(1x+n(2。

易知Ann+1(1,Bnn2(n-1,

由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。

(2)证明:∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1,

∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1<1。

5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n,求数列{bn}的前n项和Tn。

解 (1)因为S1=a1,S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2,

S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),

解得a1=1,所以an=2n-1。

(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n

=(-1)n-12n+1(1。

当n为偶数时,

Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。

当n为奇数时,

Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。

所以Tn=,n为偶数。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1

6.(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-4an(1,其中n∈N*。

(1)设bn=2an-1(2,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;

(2)设cn=n+1(4an,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn解 (1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2

=-1(1-2an-1(2

=2an-1(4an-2an-1(2=2(常数),

∴数列{bn}是等差数列。

∵a1=1,∴b1=2,

因此bn=2+(n-1)×2=2n,

由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。

(2)由cn=n+1(4an,an=2n(n+1得cn=n(2,

∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1,

∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1

=2n+2(1<3,

依题意要使Tn即4(m(m+1)≥3,

解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,所以m的最小值为3。

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