一、选择题

已知定义在R上的函数f(x)其导函数f′(x)的大致图象所示则下列叙述正确的是(　　)

(b)>f(c)>f(d)

(b)>f(a)>f(c)

(c)>f(b)>f(a)

f(c)>f(b)>f(d)

解析　由f′(x)的图象知[a，c]时(x)≥0，f(x)为增函数>b>a(c)>f(b)>f(a).

答案

2.若函数f(xkx-在区间(1+∞)上单调递增则k的取值范围是(　　)

(-∞-2] B.(-∞-1]

[2，+∞) D.[1+∞)

解析　由于f′(x)=k-(x)=kx-在区间(1+∞)上单调递增⇔(x)=k-在(1+∞)上恒成立由于k≥而0<<1所以k≥1.即k的取1，+∞).

答案

3.(2016·保定模拟)函数f(x)=x-3ax-a在(0)内有最小值则a的取值范围是(　　)

[0，1) B.(-1)

C. D.(0，1)

解析　f′(x)=3x-3a=3(x-a).当a0时(x)>0

∴f(x)在(0)内单调递增无最小值.

当a>0时(x)=3(x-)(x+).

当x∈(-∞-)和(+∞)时(x)单调递增;

当x∈(-)时(x)单调递减

所以当<1即0

答案

4.已知f(x)=x+ax+bx-a-7a在x=1处取得极大值10则的值为(　　)

--2

-2或-或-

解析　由题意知f′(x)=3x+2ax+b(1)=0(1)=10即解得或

经检验满足题意故=-

答案

5.已知函数f(x)=+ax+3x+1有两个极a的取值范围是(　　)

(，+∞) B.(-∞-)

(-) D.(-∞-)∪(+∞)

解析　f′(x)=x+2ax+3.

由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根

所以Δ=4a-12>0

解得a>或a<-

答案

二、填空题

已知函数f(x)=4+ax-6x+b(a为常数)且x=2为f(x)的一个极值点则a的值为________.

解析　由题意知函数f(x)的定义域为(0+∞)

∵f′(x)=+2ax-6(2)=2+4a-6=0即a=1.

答案　1

已知函f(x)=+-2x在定义域内是增函数则实数m的取值范围是____________.

解析　f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立

∴m≥-+

令g(x)=-+则当=1时函数(x)取最大值1.故m≥1.

答案　[1+∞)

(2016·北京卷)设函数f(x)=

(1)若a=0则f(x)的最大值为________;

(2)若f(x)无最大值a的取值范围是________

解析　(1)当a=0时(x)=

若x≤0(x)=3x-3=3(x-1).

由f′(x)>0得x<-1由f′(x)<0得-1

(x)在(-∞-1)上单调递增;

在(-1]上单调递减(x)最大值为f(-1)=2.

若x>0(x)=-2x单调递减所以f(x)

所以f(x)最大值为2.

(2)函数y=x-3x与y=-2x的图象如图.

由(1)知当a≥-1时(x)取得最大值2.

当a<-1时=-2x在x>a时无最大值.且-2a>2.

所以a<-1.

答案　(1)2　(2)(-∞-1)

三、解答题

(2016·北京卷)设函数f(x)=x-x+bx曲线y=f(x)在点(2(2))处的切线方程为y=(-1)x+4.

(1)求a的值;

(2)求f(x)的单调区间.

解　(1)f(x)的定义域为R.

(x)=-x-x-x+b=(1-x)-x+b.

依题设即

解得a=2=

(2)由(1)知f(x)=x-x+

由f′(x)=-x(1-x+-1)及-x>0知

f′(x)与1-x+-1同号.

令g(x)=1-x+-1则g′(x)=-1+-1

所以当x∈(-∞)时(x)<0(x)在区间(-∞)上单调递减;

当x∈(1+∞)时g′(x)>0(x)在区间(1+∞)上单调递增.

故g(1)=1是g(x)在区间(-∞+∞)上的最小值

从而g(x)>0(-∞+∞)

综上可知(x)>0(-∞+∞).

故f(x)的单调递增区间为(-∞+∞).

已知f(x)=ax-R.

(1)若f(x)在x=1处有极值求f(x)的单调递增区间;

(2)是否存在实数a使f(x)在区间(0]上的最小值是3若存在求出a的值;

解　(1)由题意知f′(1)=0-1=0=1.

经检验a=1(x)在x=1处有极值

所以f(x)=x-

令f′(x)=1->0解得x>1或x<0

又f(x)的定义域为(0+∞)

所以f(x)的单调递增区间为(1+∞).

(2)假设存在实数a使f(x)=ax-(x∈(0，e])有最小值3.

当a≤0时因为x∈(0]，所以f′(x)<0

所以f(x)在(0

f(x)min=f()=a-1=3解得a=(舍去);

当0<<时(x)在上单调递减在上单调递增

∴f(x)min=f=1ln a=3解得a=满足条件;

当时因为x∈(0]，所以f′(x)<0

∴f(x)在(0]上单调递减

∴f(x)min=f()=a-1=3.解得a=舍去.

综上存在实数a=使得当x∈(0]时(x)有最小值3.

设函数f(x)=-k(k为常数=2.718 28…是自然对数的底数).

(1)当k≤0时求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在(0)内存在两个极值点求k的取值范围.

解　(1)函数y=f(x)的定义域为(0+∞).

(x)=-k

=-=

由k≤0可得-kx>0

所以当x∈(0)时(x)<0函数y=f(x)单调递减

x∈(2，+∞)时(x)>0函数y=f(x)单调递增.

所以f(x)的单调递减区间为(0]，单调递增区间为[2+∞).

(2)由(1)知时函数f(x)在(0)内单调递减

故f(x)在(0)内不存在极值点;

当k>0时设函数g(x)=-kx[0，+∞).

因为g′(x)=-k=-当0

当x∈(0)时(x)=-k>0=g(x)单调递增.

故f(x)在(0)内不存在两个极值点;

当k>1时得x∈(0)时(x)<0函数y=g(x)单调递减.

(ln k，+∞)时(x)>0函数y=g(x)单调递增.

所以函数y=g(x)的g(ln k)=k(1-).

函数f(x)在(0)内存在两个极值点当且仅当

解得