参考答案

1.D　2.C　3.D　4.D

5.D　取BC中点M,

即=.

则由重心的性质可得=2.

所以 =(+)=(-a+b).

故 =2=-a+b.

所以=+=-2a+b.

故选D.

6.B　g(x)=y′=cos x为偶函数,

所以函数y=x2g(x)也为偶函数,排除选项A,D.

当x=0时,y=x2g(x)=0,排除选项C.

7.D　根据约束条件画出可行域,

因为设k==1+,

整理得(k-1)x-2y+k-3=0,由图得,k>1.

设直线l0:(k-1)x-2y+k-3=0,

当直线l0过A(0,4)时,k最大为11,

当直线l0过B(0,0)时,k最小为3.故选D.

8.A　由f(x)=sin (ωx+)的最小正周期为4π,得ω=.

因为f(x)≤f()恒成立,

所以f(x)max=f(),

即×+=+2kπ(k∈Z),

由||<,得=,

故f(x)=sin(x+).

令x+=kπ(k∈Z),

得x=2kπ-(k∈Z),

故f(x)的对称中心为(2kπ-,0)(k∈Z),

当k=0时,f(x)的对称中心为(-,0),故选A.

9.A　由三视图可知r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,

所以V=[(π+16π+)×4]×-π×12×4=×21π-2π=12π.故选A.

10.C　因为y=(x-2)ex,

所以y′=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.

令y′=0,得x=1.

当x<1时,y′<0;

当x>1时,y′>0.

所以y=(x-2)ex在x=1处取得极小值,且极小值为-e.

又实数a,b,c成等比数列,

所以ac=b2=e2.

11.C　因为抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,又|CA|+|AF|=2a,所以C,A,F三点共线,且A是线段CF的中点,

因为C(0,4),F(,0),

所以A(,2),则4=2p·⇒p=2,

所以a=+=,

因为圆心C到直线OA:y=2x的距离为=,

所以所求的弦长为2=.选C.

12.B　设g(x)=,x∈[0,+∞),

则g′(x)=

=.

因为f′(x)>f(x),

所以g′(x)>0,

所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

所以g(2)0),

所以f′(x)=()′=-(x>0).

当00;

当x>1时,f′(x)<0;

所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

故f(x)在x=1处取得极大值.

因为函数f(x)在区间(m,m+)(m>0)上存在极值,

所以得0,从而g′(x)>0,故g(x)在[1,+∞)上单调递增,

所以g(x)≥g(1)=2>0,

所以实数t的取值范围是(-∞,2].

21.解:(1)设F(c,0),P(t,),

则Q(-t,),

所以+=1,

即t2=a2,　①

因为PF⊥QF,

所以·=-1,

即c2-t2=-,　②

所以由①②得c2-a2=-,

又a2-c2=3,所以a2=4,

所以椭圆M的方程为+=1.

(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+m.

由

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

所以

因为O为重心,

所以=-(+)

=(,),

因为C点在椭圆M上,故有+=1,

可得4m2=4k2+3.

而|AB|

=

=,

d==(利用d是O到AB距离的3倍得到),

所以S△ABC=|AB|·d

=

=

=,

当直线AB斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=.

所以△ABC的面积为定值.

22.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),

依题意得

由+=1得x2+()2=1,

即曲线C的方程为x2+=1.

C的参数方程为(t为参数).

(2)由

解得或

不妨设P1(1,0),P2(0,2),

则线段P1P2的中点坐标为(,1),

所求直线的斜率k=,

于是所求直线方程为y-1=x-.

化为极坐标方程,并整理得

2ρcos θ-4ρsin θ=-3,

即ρ=.

23.解:(1)当a=-4时,f(x)≥6,

即|x-4|+|x-2|≥6,

即或

或

解得x≤0或x≥6.

所以解集为(-∞,0]∪[6,+∞).

(2)原命题等价于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,

即|x+a|+2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,即-1≤a≤0.

所以实数a的取值范围为[-1,0].