一、 填空题

1.曲线y=在点(1，-1)处的切线方程为　　　　.

2.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值是　　　　.

3.当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.

4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m，n∈R)是R上的增函数，则实数m的值为　　　　.

5.若函数f(x)=+ln x在区间(m，m+2)上单调递减，则实数m的取值范围为　　　　.

6.已知f(x)=sin x+2x，x∈R，f(1-a)+f(2a)<0，a的取值范围是　　　　.

7.函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是　　　　.

8.设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0)，且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1，4.若f(x)在(-∞，+∞)上无极值点，则实数a的取值范围为　　　　.

二、 解答题

9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.

答案

1. y=-2x+1　【解析】由题意，得y'=，所以在点(1，-1)处的切线斜率为-2，所以在点(1，-1)处的切线方程为y=-2x+1.

2. 5　【解析】令f'(x)=6x2-6x-12=0x=2，x=-1().又f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，f(x)max=5.

3. [-6，-2]　【解析】当x∈(0，1]时，得a≥-3-4+.令t=，则t∈[1，+∞)，a≥-3t3-4t2+t，令g(t)=-3t3-4t2+t，t∈[1，+∞)，则g'(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1)，显然在[1，+∞)上，g'(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max=g(1)=-6，因此a≥-6.同理，当x∈[-2，0)时，得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2，显然当x=0时也成立，故实数a的取值范围为[-6，-2].

4. 6　【解析】因为f'(x)=12x2+2mx+(m-3)，又函数f(x)是R上的增函数，所以12x2+2mx+(m-3)≥0在R上恒成立，所以(2m)2-4×12(m-3)≤0，整理得m2-12m+36≤0，即(m-6)2≤0.又因为(m-6)2≥0，所以(m-6)2=0，所以m=6.

5. [0，1]　【解析】由f(x)=+ln x，得f'(x)=-+=，由f'(x)<0，得00，f(x)在(-∞，+∞).由f(1-a)+f(2a)<0，f(2a)0，“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，+∞)”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞，+∞)”.

由(*)式得2b=9-5a，c=4a.

Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)，

a∈[1，9].

即实数a的取值范围为[1，9].

二、 解答题

9. (1) 因为f(x)=x3+ax2+bx+c，

f'(x)=3x2+2ax+b.

由解得

f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，

所以函数f(x)的增区间为和(1，+∞)，减区间为.

(2) f(x)=x3-x2-2x+c，x∈[-1，2]，

x=-时，f(x)=+c为极大值，且f(2)=2+c，所以f(2)=2+c为最大值.

要使f(x)f(2)=2+c，

c<-1或c>2，

c的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).

10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax，f'(x)=3ax2-8ax+4a.

f'(x)=0，3ax2-8ax+4a=0.

因为a≠0，所以3x2-8x+4=0，所以x=或x=2.

因为a>0，所以当x∈或x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)的增区间为，(2，+∞);

当x∈时，f'(x)<0，

所以函数f(x)的减区间为

(2) 因为当x∈时，f'(x)>0;

当x∈时，f'(x)<0;

当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，

所以函数f(x)在x=时取得极大值，

即a·2=32，解得a=27.

11. (1) 当a=0时，f(x)=3xln x，

所以f'(x)=3(ln x+1).

令f'(x)=0，得x=.

当x∈时，f'(x)<0;当x∈时，f'(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.

所以当x=时，f(x)有极小值f=-.

(2) 设g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x)，D=.

由题意，g(x)在D上有且只有一个零点x0，且x0两侧g(x)异号.

①当a≥0时，g(x)在D上单调递增，且g(x)>g≥0，所以g(x)在D上无零点.

②当a<0时，在(0，+∞)上考察g(x)：

g'(x)=，

令g'(x)=0，得x1=.

所以g(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，+∞)上单调递减.

(ⅰ) 当g(e)·g<0，即(ae2+2)·<0，即-0.

g=<0，所以g(x)在D上有且只有一个零点x0，且x0两侧g(x)异号.

综上所述，实数a的取值范围是.

(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间;

(2)若对任意的x∈[-1，2]，不等式f(x)0，函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求实数a的值.

11.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知函数f(x)=ax3+3xln x(a∈R).

(1)当a=0时，求f(x)的极值;

(2)若f(x)在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.