11.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为(　　)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案　C

解析　连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：

根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B=60°，

故选C.

12.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，则此时二面角E—BC—F的余弦值为(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP.

由题意得BF=CF=2，PF⊥BC，

又∵EB=EC==，∴EP⊥BC，

∴∠EPF即为二面角E—BC—F的平面角，

而FP==，

∴在△EPF中，cos∠EPF=

==，

故选B.

13.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，点E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于________.

答案

解析　取BC的中点F，连接EF，OF，

由于点O为底面ABCD的中心，点E为CC1的中点，所以EF∥BC1∥AD1，

所以异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角.

平面ABCD⊥平面BCC1B1，

平面ABCD∩BCC1B1=BC，

OF⊥BC，OF平面ABCD，

所以OF⊥平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，

所以EF⊥OF.

因为EF=，OF=1，

所以OE===.

所以cos∠FEO===.

14.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为________.

答案　50π

解析　由勾股定理得AC=5，在等腰直角三角形PAC中，PC=2R=5，因此表面积S=4πR2=50π.

15.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为________.

答案　13π

解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为y，

则6x+y=9,0

正六棱柱的体积V=6×x2y=(-6x3+9x2)，

∴V′=-9x(x-1)，

∴令V′=0，则x=0(舍)或x=1.

∵当x>1时，V′<0;当00，

∴当x=1时，正六棱柱体积最大，此时y=3.

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，

∴外接球的表面积为4π×=13π.

16.α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：

①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是________.

答案　①③

解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，

①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，

又∵AB⊥α，EFα，

∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确;②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成的角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确;④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③.