8.(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是________.

答案　①③

解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面.

①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EFα，

∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确;

②中，由①可知，若BD⊥EF成立，

则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，

而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;

③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，

可知EF⊥AC，由①可知③正确;

④中，仿照②的分析过程可知④错误，

故填①③.

9.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：

①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成角为60°.

错误的有________.(把你认为错误的序号全部写上)

答案　④

解析　①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1;

②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD;

③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1;

④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误.

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，则·≥1的概率p=________.

答案

解析　可解得||cos θ≥，也即在上的投影大于或等于.由几何概型的求法知，p==.

11.如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S=________.

答案　10π

解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知条件得

解得r=，l=4，S=πrl+πr2=10π.

12.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=.

(1)求证：BD⊥PC;

(2)求证：MN∥平面PDC;

(3)求二面角A—PC—B的余弦值.

(1)证明　因为△ABC是正三角形，M是AC中点，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

PA⊥BD，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，所以BD⊥PC.

(2)证明　在正三角形ABC中，BM=2，

在△ACD中，因为M为AC中点，DM⊥AC，

所以AD=CD，又∠CDA=120°，所以DM=，

所以BM∶MD=3∶1，在等腰直角三角形PAB中，

PA=AB=4，PB=4，所以BN∶NP=3∶1，

BN∶NP=BM∶MD，所以MN∥PD，

又MN平面PDC，PD平面PDC，

所以MN∥平面PDC.

(3)解　因为∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

所以AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4,0,0)，C(2，2，0)，D(0，，0)，P(0,0,4).

由(1)可知，=(4，-，0)为平面PAC的一个法向量，

=(2,2，-4)，=(4,0，-4)，

设平面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，

则　即

令z=3，则平面PBC的一个法向量为n=(3，，3)，

设二面角A—PC—B的大小为θ，

则cos θ==.

所以二面角A—PC—B的余弦值为.