1.已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥n，则n∥α;

②若m⊥β，n⊥β，则m∥n;

③若m⊥α，m⊥β，则α∥β;

④若mα，nβ，α∥β，则n∥m;

⑤若α⊥β，α∩β=m，nα，m⊥n，则n⊥β.

其中正确的命题是________.(填写所有正确命题的序号)

答案　②③⑤

解析　命题①，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故不正确;命题②，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，由线面垂直的性质定理易知正确;命题③，由线面垂直的性质定理易知正确;命题④，若mα，nβ，α∥β，则n∥m或m、n异面，所以不正确;命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题.故答案为②③⑤.

2.在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，-1,6)，C(x，4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________.

答案　2

解析　由题意得=(6，-2，-3)，=(x-4,3，-6)，

·=(6，-2，-3)·(x-4,3，-6)

=6(x-4)-6+18=0，

解得x=2.

3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.

答案　60°

解析　由中点M，N可知MN∥AD1，由△D1AC是正三角形可知∠D1AC=60°，所以异面直线AC和MN所成的角为60°.

4.在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为________.

答案

解析　如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，

∴SC⊥平面SAB，

在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=.

在△SAB中，取AB中点D，连结SD，则SD⊥AB，且BD=，

∴SD= =，∴V=××3××=.

5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是________.

①若m∥α，n∥α，则m∥n;

②若m⊥α，nα，则m⊥n;

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α;

④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.

答案　②

6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=1，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于________.

答案

解析　由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h··12=h=4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R2=22+()2=，因此球的表面积等于4πR2=4π·=π.

7.已知长方体ABCD—A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的有________条.

答案　6

解析　如图，连结EG，EH，FG，∵EH綊FG，

∴EFGH四点共面，由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH=E，AB′∩AD′=A，可得平面EFGH与平面AB′D′平行，∴符合条件的共有6条.