1.双曲线的方程为=1(a>0，b>0)，焦距为4，一个顶点是抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的离心率e=(　　)

　　A.2 B. 1C.3 D.5

　　2.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

　　A. (0，1) B.(1，5) C. (1，3)D.(0，2)

　　3.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。若=0，则||+||+||=(　　)

　　A.9 B.6 C.4 D.3

　　4.已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

　　A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2

　　5.已知A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB=，则该双曲线的离心率为(　　)

　　A.1 B.2 C. -1 D.-2

　　6.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是(　　)

　　A.4 B.3 C.4 D.8

　　7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=( )。

　　8.(2014湖南，文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等。若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是( )。

　　9.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M， N两点，线段MN中点的横坐标为-，求此双曲线的方程。

　　10.(2014安徽，文21)设F1，F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|。

　　(1)若|AB|=4，ABF2的周长为16，求|AF2|;

　　(2)若cosAF2B=，求椭圆E的离心率。

　　11.已知点F是双曲线=1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是(　　)

　　A. B.2 C.1+ D.2+

　　12.(2014湖北，文8)设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为(　　)

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　13.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)

　　A.=3 B.=1C.=-1D=-2

　　14.(2014江西，文20)如图，已知抛物线C:x2=4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)。

　　(1)证明：动点D在定直线上;

　　(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值。

　　15.已知点A(0，-2)，椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。

　　(1)求E的方程;

　　(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程。

　　参考答案

　　1.A。解析：抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，则在双曲线中a=1.又2c=4，c=2，e==2。

　　2.C。解析：设F1，F2为焦点，由题意知，点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，

　　则c1或k<-1。

　　9.解：设双曲线的方程为=1(a>0，b>0)，

　　则a2+b2=()2=7。

　　由消去y，得=1。

　　整理，得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0。(*)

　　由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b，

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

　　则x1和x2为方程(*)的根，

　　于是x1+x2=。

　　由已知得=-，

　　则=-，即5a2=2b2。

　　由得故所求双曲线方程为=1。

　　10.解：(1)由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，

　　得|AF1|=3，|F1B|=1。

　　因为ABF2的周长为16，

　　所以由椭圆定义可得4a=16，

　　|AF1|+|AF2|=2a=8。

　　故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5。

　　(2)设|F1B|=k，则k>0，

　　且|AF1|=3k，|AB|=4k。

　　由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k。

　　在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B，

　　即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k)，

　　化简可得(a+k)(a-3k)=0，

　　而a+k>0，故a=3k。

　　于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k。

　　因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，可得F1AF2A，

　　故AF1F2为等腰直角三角形。

　　从而c=a，所以椭圆E的离心率e=。

　　11.B。解析：将x=-c代入双曲线方程得A。

　　由ABE是直角三角形，得=a+c，

　　即a2+ac=b2=c2-a2，

　　整理得c2-ac-2a2=0。

　　∴e2-e-2=0，

　　解得e=2(e=-1舍去)。

　　12.A。解析：可解方程t2cosθ+tsinθ=0，

　　得两根0，-。

　　不妨设a=0，b=-，

　　则A(0，0)，B，

　　可求得直线方程y=-x，

　　因为双曲线渐近线方程为y=±x，

　　故过A，B的直线即为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点，故选A。

　　13.D。解析：因为椭圆的离心率为，

　　所以e=，c2=a2，a2=a2-b2。

　　所以b2=a2，即a2=4b2。

　　因为双曲线的渐近线为y=±x，代入椭圆得=1

　　即=1，

　　所以x2=b2，x=±b，y2=b2，y=±b。

　　则在第一象限的交点坐标为。

　　所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5，

　　故椭圆方程为=1。

　　14.(1)证明：依题意可设AB方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0。

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　则有x1x2=-8，

　　直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2。

　　解得交点D的坐标为

　　注意到x1x2=-8及=4y1，

　　则有y==-2。

　　因此D点在定直线y=-2上(x≠0)。

　　(2)解：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a≠0)，

　　代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

　　即x2-4ax-4b=0，

　　由Δ=0得(4a)2+16b=0，化简整理得b=-a2.

　　故切线l的方程可写为y=ax-a2。

　　分别令y=2，y=-2得N1，N2的坐标为N1，N2。

　　则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8，

　　即|MN2|2-|MN1|2为定值8。

　　15.解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c=。

　　又，所以a=2，b2=a2-c2=1。

　　故E的方程为+y2=1

　　(2)当lx轴时不合题意，故设l:y=kx-2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。

　　将y=kx-2代入+y2=1，

　　得(1+4k2)x2-16kx+12=0。

　　当Δ=16(4k2-3)>0，即k2>时，x1，2=。

　　从而|PQ|=|x1-x2|=。

　　又点O到直线PQ的距离d=，

　　所以OPQ的面积SOPQ=d·|PQ|=。

　　设=t，则t>0，

　　SOPQ=。

　　因为t+≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ>0。

　　所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为y=x-2或y=-x-2。