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2016年湖南高考数学备考:专项练习及答案(8)

来源 :中华考试网 2016-01-28

  一、非标准

  1.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,求直线l被圆C截得的弦长。

  2.在平面直角坐标系xOy中,若l(t为参数)过椭圆C(φ为参数)的右顶点,求常数a的值。

  3.在极坐标系中,求圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρR)的距离。

  4.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标。

  5.(2014江苏,21)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长。

  6.(2014课标全国,文23)已知曲线C=1,直线l(t为参数)。

  (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

  (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值。

  7.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2。以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程。

  8.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,直线l的参数方程是(t为参数),M,N分别为曲线C,直线l上的动点,求|MN|的最小值。

  9.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点,若AOB是等边三角形,求a的值。

  10.(2014课标全国,文23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ。

  (1)求C的参数方程;

  (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标。

  参考答案

  1.解:由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4。

  则圆心到直线的距离d=,

  故弦长=2=2。

  2.解:x=t,且y=t-a,消去t,得直线l的方程y=x-a。

  又x=3cosφ且y=2sinφ,消去φ,

  得椭圆方程=1,右顶点为(3,0),

  依题意0=3-a,a=3。

  3.解:将极坐标方程转化为直角坐标方程求解。极坐标系中的圆ρ=4sinθ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直线θ=化为平面直角坐标系中的方程为y=x,即x-3y=0。

  圆心(0,2)到直线x-3y=0的距离为。

  4.解:ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1。

  联立方程

  解得

  即两曲线的交点为(-1,1)。

  又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为。

  5.解:将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,

  得=4.

  解得t1=0,t2=-8。

  所以AB=|t1-t2|=8。

  6.解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)。

  直线l的普通方程为2x+y-6=0。

  (2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=。

  当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为。

  当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为。

  7.解:由题意得曲线C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1。

  又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线方程为y-1=x-2,

  即x-y-1=0,故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1。

  8.解:化极坐标方程ρ=4cosθ为直角坐标方程x2+y2-4x=0,所以曲线C是以(2,0)为圆心,2为半径的圆。

  化参数方程 (t为参数)为普通方程x-y+3=0。

  圆心到直线l的距离d=,此时,直线与圆相离,

  所以|MN|的最小值为-2=。

  9.解:由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,

  所以x2+y2=4y。

  所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;

  由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于AOB是等边三角形,所以圆心C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点为D(如图)。

  则CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,所以a=3。

  10.解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1)。

  可得C的参数方程为

  (t为参数,0≤t≤π)。

  (2)设D(1+cos t,sin t)。由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=。

  故D的直角坐标为,即。

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