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2016年湖南高考数学备考:专项练习及答案(6)

来源 :中华考试网 2016-01-28

  题型一、抛物线的定义及其应用

  例1:设P是抛物线y2=4x上的一动点,

  (1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

  (2)若B(3,2),抛物线的焦点为F,求PB+PF的最小值。

  破题切入点:画出图形,结合抛物线的定义,转化为共线问题。

  解:(1)由于A(-1,1),F(1,0),P是抛物线上的任意一点,则AP+PF≥AF==,从而知点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为,所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为。

  (2)如图所示,自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q,交抛物线于点P1,此时P1Q=P1F,那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4,即PB+PF的最小值为4。

  题型二、抛物线的标准方程及性质

  例2:(1)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是________。

  (2)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m。水位下降1 m后,水面宽________ m。

  破题切入点:准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答。

  答案:(1)(2,+∞)。(2)2

  解析:(1)∵x2=8y,∴焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2。由抛物线的定义知FM=y0+2。

  以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2。

  由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交,

  又圆心F到准线的距离为4,故42。

  (2)建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

  则A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py得p=1。

  ∴x2=-2y。

  水位下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),

  将其坐标代入x2=-2y,得x=6,

  ∴x0=。∴水面宽CD=2 m。

  题型三、直线和抛物线的位置关系

  例3:已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2)。

  (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;

  (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由。

  破题切入点:

  (1)将点代入易求方程。

  (2)假设存在,根据条件求出,注意验证。

  解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,

  所以p=2。

  故所求的抛物线C的方程为y2=4x,

  其准线方程为x=-1。

  (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t。

  由得y2+2y-2t=0。

  因为直线l与抛物线C有公共点,

  所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-。

  由直线OA到l的距离d=,

  可得=,

  解得t=±1。

  又因为-1[-,+∞),1∈[-,+∞),

  所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0。

  总结提高:

  (1)抛物线没有中心,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴且离心率为e=1,所以与椭圆、双曲线相比,它有许多特殊性质,可以借助几何知识来解决。

  (2)抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系,将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式,这是它们的内在联系。

  (3)抛物线的焦点弦:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则

  ①y1y2=-p2,x1x2=;

  ②若直线AB的倾斜角为θ,则AB=;

  ③若F为抛物线焦点,则有+=。

  1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为________。

  答案:4或-4

  解析:设标准方程为x2=-2py(p>0),

  由定义知P到准线的距离为4,故+2=4,所以p=4,

  则方程为x2=-8y,代入P点坐标得m=±4。

  2.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有________个。

  答案:1

  解析:由题意得F(2,0),l:x=-2,

  线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-),

  即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),

  则圆心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,

  由题意得|a-(-2)|=,

  即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0。

  又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个。

  3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是________。

  答案:2±

  解析:依题意得F(,0),设P(,y1),Q(,y2)(y1≠y2)。由抛物线定义及PF=QF,得+=+,∴y=y,∴y1=-y2。又PQ=2,因此|y1|=|y2|=1,点P(,y1)。又点P位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得PF=+=2,由此解得p=2±。

  4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________。

  答案解析:由已知得焦点坐标为F(,0),

  因此直线AB的方程为y=(x-),

  即4x-4y-3=0。

  方法一:联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0,

  故|yA-yB|==6。

  因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=。

  方法二:联立方程得x2-x+=0,

  故xA+xB=。

  根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=12,

  同时原点到直线AB的距离为h=,

  因此S△OAB=AB·h=。

  5.已知抛物线y2=8x的准线为l,点Q在圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上,记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d+PQ的最小值为________。

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