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2016年湖南高考数学备考:专项练习及答案(5)

来源 :中华考试网 2016-01-25

  题型一、直线和椭圆的位置关系

  例1:如图所示,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长。C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E。

  (1)求C1,C2的方程;

  (2)求证:MA⊥MB;

  (3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若=λ,求λ的取值范围。

  破题切入点:

  (1)利用待定系数法求解曲线C1,C2的方程。

  (2)设出直线AB和曲线C2联立,利用坐标形式的向量证明。

  (3)将S1和S2分别表示出来,利用基本不等式求最值。

  (1)解 由题意,a2=2b2。

  又2=2b,得b=1。

  所以曲线C2的方程:y=x2-1,椭圆C1的方程:+y2=1。

  (2)证明:设直线AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),

  由题意,知M(0,-1)。

  则x2-kx-1=0=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)

  =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

  =-(1+k2)+k2+1=0,

  所以MA⊥MB。

  (3)解:设直线MA的方程:y=k1x-1,直线MB的方程:y=k2x-1,

  由(2)知k1k2=-1,M(0,-1),

  由解得或

  所以A(k1,k-1)。

  同理,可得B(k2,k-1)。

  故S1=MA·MB=·|k1||k2|。

  由解得或

  所以D。

  同理,可得E。

  故S2=MD·M

  则λ的取值范围是[,+∞)。

  题型二、直线和双曲线的位置关系

  例2:已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1。

  (1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;

  (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值。

  破题切入点:

  (1)联立方程组,利用Δ>0求出k的取值范围。

  (2)联立方程用根与系数的关系求解。

  解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,

  则方程组有两个不同的实数根,

  整理得(1-k2)x2+2kx-2=0。

  ∴解得-|x2|时,

  S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

  =|x1-x2|;

  当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,

  S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

  =|x1-x2|。

  ∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=(2)2,

  即2+=8,解得k=0或k=±。

  又∵-0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=,且S△ABF=1-。抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F。

  (1)求双曲线M和抛物线N的方程;

  (2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是,试求出该点的坐标,如果不是,请说明理由。

  破题切入点:

  (1)根据双曲线的性质,用a,c表示已知条件,建立方程组即可求解双曲线的方程,然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程。

  (2)设出点P的坐标,根据导数的几何意义求出切线方程,并求出点Q的坐标,然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程,将问题转化为方程恒成立的问题来解决。

  解:(1)在双曲线中,c=,

  由e=,得=,

  解得a=b,故c=2b。

  所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

  =1-,解得b=1。

  所以a=,c=2,其上焦点为F(0,2)。

  所以双曲线M的方程为-x2=1,

  抛物线N的方程为x2=8y。

  (2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2,

  故y′=x,抛物线的准线为y=-2。

  设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,

  且直线l的方程为y-x=x0(x-x0),

  即y=x0x-x。由得

  所以Q(,-2)。

  假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,

  也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立。

  由于=(x0,y0-y1),=(,-2-y1),

  由=0,

  得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0,

  整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0,

  即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0,

  由于式对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立,

  所以解得y1=2。

  故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点,定点坐标为(0,2)。

  总结提高:直线和圆锥曲线的位置关系问题,万变不离其宗,构建属于自己的解题模板,形成一定的解题思路,利用数形结合思想来加以解决。

  1.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过F且与抛物线C交于M,N两点,已知当直线l与x轴垂直时,△OMN的面积为2(O为坐标原点)。

  (1)求抛物线C的方程;

  (2)是否存在直线l,使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由。

  解:(1)当直线l与x轴垂直时,则|MN|=2p,

  ∴S△OMN=·2p·==2,即p=2。

  ∴抛物线C的方程为y2=4x。

  (2)∵直线l与x轴垂直时,不满足。设正方形的第三个顶点为P。

  故可设直线l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),

  联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

  则代入直线l可得MN的中点为,

  则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-),

  故P(0,+)。

  又=0,则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0。

  即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0。

  1-4-y0·+y=0,化解得ky-4y0-3k=0,

  由y0=+代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0。

  解得k=± 。∴存在直线l:y=± (x-1)。

  2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为。设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点。

  (1)求抛物线C的方程;

  (2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

  (3)当点P在直线l上移动时,求AF·BF的最小值。

  解:(1)依题意知=,c>0,解得c=1。

  所以抛物线C的方程为x2=4y。

  (2)由y=x2得y′=x,

  设A(x1,y1),B(x2,y2),

  则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,

  所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),

  即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0。

  同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,

  又点P(x0,y0)在切线PA和PB上,

  所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,

  所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解,

  所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0。

  (3)由抛物线定义知AF=y1+1,BF=y2+1,

  所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,

  联立方程

  消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0,

  ∴y1+y2=x-2y0,y1y2=y,

  ∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

  =y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

  =22+,

  ∴当y0=-时,AF·BF取得最小值,且最小值为。

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