题型一、直线和椭圆的位置关系

　　例1：如图所示，椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长。C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E。

　　(1)求C1，C2的方程;

　　(2)求证：MA⊥MB;

　　(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围。

　　破题切入点：

　　(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程。

　　(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明。

　　(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求最值。

　　(1)解　由题意，a2=2b2。

　　又2=2b，得b=1。

　　所以曲线C2的方程：y=x2-1，椭圆C1的方程：+y2=1。

　　(2)证明：设直线AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由题意，知M(0，-1)。

　　则x2-kx-1=0=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

　　=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

　　=-(1+k2)+k2+1=0，

　　所以MA⊥MB。

　　(3)解：设直线MA的方程：y=k1x-1，直线MB的方程：y=k2x-1，

　　由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

　　由解得或

　　所以A(k1，k-1)。

　　同理，可得B(k2，k-1)。

　　故S1=MA·MB=·|k1||k2|。

　　由解得或

　　所以D。

　　同理，可得E。

　　故S2=MD·M

　　则λ的取值范围是[，+∞)。

　　题型二、直线和双曲线的位置关系

　　例2：已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1。

　　(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围;

　　(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值。

　　破题切入点：

　　(1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围。

　　(2)联立方程用根与系数的关系求解。

　　解：(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，

　　则方程组有两个不同的实数根，

　　整理得(1-k2)x2+2kx-2=0。

　　∴解得-|x2|时，

　　S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

　　=|x1-x2|;

　　当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，

　　S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

　　=|x1-x2|。

　　∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

　　即2+=8，解得k=0或k=±。

　　又∵-0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e=，且S△ABF=1-。抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F。

　　(1)求双曲线M和抛物线N的方程;

　　(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由。

　　破题切入点：

　　(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程。

　　(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决。

　　解：(1)在双曲线中，c=，

　　由e=，得=，

　　解得a=b，故c=2b。

　　所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

　　=1-，解得b=1。

　　所以a=，c=2，其上焦点为F(0，2)。

　　所以双曲线M的方程为-x2=1，

　　抛物线N的方程为x2=8y。

　　(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2，

　　故y′=x，抛物线的准线为y=-2。

　　设P(x0，y0)，则x0≠0，y0=x，

　　且直线l的方程为y-x=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x。由得

　　所以Q(，-2)。

　　假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，

　　也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立。

　　由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

　　由=0，

　　得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

　　整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

　　即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，

　　由于式对满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

　　所以解得y1=2。

　　故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0，2)。

　　总结提高：直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决。

　　1.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点)。

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由。

　　解：(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|=2p，

　　∴S△OMN=·2p·==2，即p=2。

　　∴抛物线C的方程为y2=4x。

　　(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足。设正方形的第三个顶点为P。

　　故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

　　联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　则代入直线l可得MN的中点为，

　　则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-)，

　　故P(0，+)。

　　又=0，则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0。

　　即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0。

　　1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

　　由y0=+代入上式，化简得(3k4-4)(k2+1)=0。

　　解得k=± 。∴存在直线l：y=± (x-1)。

　　2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为。设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点。

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

　　(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值。

　　解：(1)依题意知=，c>0，解得c=1。

　　所以抛物线C的方程为x2=4y。

　　(2)由y=x2得y′=x，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，

　　所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0。

　　同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0，

　　又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解，

　　所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0。

　　(3)由抛物线定义知AF=y1+1，BF=y2+1，

　　所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

　　联立方程

　　消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，

　　∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，

　　∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

　　=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

　　=22+，

　　∴当y0=-时，AF·BF取得最小值，且最小值为。