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2016年湖南高考数学备考:专项练习及答案(4)

来源 :中华考试网 2016-01-25

  题型一、定值、定点问题

  例1:已知椭圆C:+=1经过点(0,0),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。

  (1)求椭圆C的方程;

  (2)若直线l交y轴于点M,且=λ,=μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ+μ的值是否为定值?若是,求出λ+μ的值;否则,请说明理由。

  破题切入点:

  (1)待定系数法。

  (2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式=λ,=μ。把λ,μ用点A,B的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值。

  解:(1)依题意得b=,e==,a2=b2+c2,

  ∴a=2,c=1,∴椭圆C的方程为+=1。

  (2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,

  又F坐标为(1,0),设直线l方程为

  y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k),

  设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),

  由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

  ∴x1+x2=,x1x2=,

  又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),

  ∴λ=,同理μ=,

  ∴λ+μ=+=

  所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值-。

  题型二、定直线问题

  例2:在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点。

  (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

  (2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由。

  破题切入点:假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解。

  解:方法一:

  (1)依题意,点N的坐标为N(0,-p),

  可设A(x1,y1),B(x2,y2),

  直线AB的方程为y=kx+p,

  与x2=2py联立得:

  消去y得x2-2pkx-2p2=0。

  由根与系数的关系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2。

  于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

  =p|x1-x2|=p

  =p=2p2,

  ∴当k=0时,(S△ABN)min=2p2。

  (2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,

  AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,

  则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为。

  ∵O′P=AC==,

  O′H==|2a-y1-p|,

  ∴PH2=O′P2-O′H2

  =(y+p2)-(2a-y1-p)2

  =(a-)y1+a(p-a),

  ∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

  令a-=0,得a=,

  此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,

  其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。

  方法二:

  (1)前同方法一,再由弦长公式得

  AB=|x1-x2|=2p,

  又由点到直线的距离公式得d=。

  从而S△ABN=·d·AB=2p=2p2。

  ∴当k=0时,(S△ABN)min=2p2。

  (2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,

  则以AC为直径的圆的方程为

  (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,

  将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,

  则Δ=x-4(a-p)(a-y1)

  =4[(a-)y1+a(p-a)]。

  设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),

  则有PQ=|x3-x4|=2。

  令a-=0,得a=,

  此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,

  其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。

  题型三、定圆问题

  例3:已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak。

  (1)求椭圆G的方程;

  (2)求△AkF1F2的面积;

  (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。

  破题切入点:

  (1)根据定义,待定系数法求方程。

  (2)直接求。

  (3)关键看长轴两端点。

  解:(1)设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则解得

  所以b2=a2-c2=36-27=9。

  所以所求椭圆G的方程为+=1。

  (2)点Ak的坐标为(-k,2),

  S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6。

  (3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知点(6,0)在圆Ck外;

  若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知点(-6,0)在圆Ck外。

  所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G。

  即不存在圆Ck包围椭圆G。

  总结提高:

  (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关。在这类试题中选择消元的方向是非常关键的。

  (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m)。

  (3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型。

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