题型一、利用归纳推理求解相关问题

　　例1：如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴…，则第2014个图形用的火柴根数为________。

　　破题切入点：观察图形的规律，写成代数式归纳可得。

　　答案：3021×2015

　　解析：由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1;

　　第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);

　　第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);

　　……

　　由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n)。

　　所以第2014个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2014)

　　=3×=3021×2015。

　　题型二、利用类比推理求解相关问题

　　例2：如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2=a2+b2。空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有________。

　　破题切入点：由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比。

　　答案：S2=S+S+S

　　解析：建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质。所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2=S+S+S。

　　总结提高：

　　(1)归纳推理的三个特点

　　①归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围;

　　②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具;

　　③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题。

　　(2)类比推理的一般步骤

　　①定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

　　②推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;

　　③检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力。

　　1.已知x>0，观察不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…，由此可得一般结论：x+≥n+1(n∈N*)，则a的值为________.

　　答案：nn

　　解析：根据已知，续写一个不等式：

　　x+=+++≥4=4，由此可得a=nn。

　　2.在平面内点O是直线AB外一点，点C在直线AB上，若=λ+μ，则λ+μ=1;类似地，如果点O是空间内任一点，点A，B，C，D中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若=x+y+z，则x+y+z=________。

　　答案：-1

　　解析：在平面内，由三角形法则，得=-，=-。

　　因为A，B，C三点共线，

　　所以存在实数t，使=t，

　　即-=t(-)，

　　所以=-+(+1)。

　　因为=λ+μ，

　　所以λ=-，μ=+1，

　　所以λ+μ=1。

　　类似地，在空间内可得=λ+μ+η，λ+μ+η=1。

　　因为=-，所以x+y+z=-1。

　　3.观察下列各式：55=3 12556=15 625，57=78 125，58=390 625，59=1 953 125，…，则52 014的末四位数字为________.

　　答案：5625

　　解析：由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T=4。又由于2 014=503×4+2，因此52 014的末四位数字是5625。

　　4.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=________。

　　答案：123

　　解析：记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;

　　f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;

　　f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;

　　f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;

　　f(10)=f(8)+f(9)=123，即a10+b10=123。

　　5.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________。

　　答案：正四面体的内切球的半径是其高的

　　解析：设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，

　　由体积分割可得：SR×4=Sh，

　　所以R=h。

　　6.观察下列等式：

　　(1+1)=2×1

　　(2+1)(2+2)=22×1×3

　　(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

　　…

　　照此规律，第n个等式可为______________。

　　答案：(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

　　解析：由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n-1)。

　　7.(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为=n2+n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

　　三角形数N(n，3)=n2+n，

　　正方形数N(n，4)=n2，

　　五边形数N(n，5)=n2-n，

　　六边形数N(n，6)=2n2-n

　　……

　　可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)=____________________________________.

　　答案：1 000

　　解析：由N(n，4)=n2，N(n，6)=2n2-n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)=n2+n，

　　∴N(10，24)=×100+×10=1 100-100=1 000。

　　8.两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________________________。

　　答案：sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0

　　解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α+π的终边互为反向延长线，α+与α+的终边互为反向延长线。

　　9.(2013·陕西)观察下列等式

　　12=1，

　　12-22=-3，

　　12-22+32=6，

　　12-22+32-42=-10，

　　…

　　照此规律，第n个等式可为________。

　　答案：12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1。

　　解析：观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(-1)n+1n2。等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，…设此数列为{an}，则a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，…，an-an-1=n，各式相加得an-a1=2+3+4+…+n，即an=1+2+3+…+n=。所以第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1。

　　10.如图1是一个边长为1的正三角形，分别连结这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连结图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推。设第n个图中原三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为________;a100=________。

　　答案：298

　　解析：由三角形的生成规律得，后面的每一个图形中小三角形的边长均等于前一个图形中小三角形边长的，即最小三角形的边长是以1为首项，为公比的等比数列，则第4个图中最小三角形的边长等于1×=，由a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=3可得，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，则a100=a1+99×3=1+297=298。

　　11.观察下列不等式：

　　1+<，

　　1++<，

　　1+++<，

　　…

　　照此规律，第五个不等式为________。

　　答案：1+++++<

　　解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列。

　　∴第五个不等式为1+++++<。

　　12.(2014·陕西)观察分析下表中的数据：

　　多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱5、6、9五棱锥6、6、10立方体6、8、12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________。

　　答案：F+V-E=2

　　解析：观察F，V，E的变化得F+V-E=2。