一、选择题

1.(2016·湖北襄阳期末)设函数f(x)=x3-ax2+x-1在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-3=0垂直，则实数a等于(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析：函数f(x)=x3-ax2+x-1的导数为f′(x)=3x2-2ax+1，曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率为4-2a，由切线与直线x+2y-3=0垂直，可得4-2a=2，解得a=1.故选A.

答案：A

2.(2016·辽宁师大附中期中)定积分dx的值为(　　)

A. B.

C.π D.2π

解析：∵y=，∴(x-1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx=，故选A.

答案：A

3.(2016·河南安阳一中月考)如图是函数y=cos在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是(　　)

A. B.

C. D.-

4.(2016·重庆开县月考一)已知函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈(0，+∞)时，实数b的最大值是(　　)

A.e6 B.e6

C.e D.e

答案：D

5.(2016·安徽马鞍山模拟)在x∈上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=+在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是(　　)

A. B.4

C.8 D.

解析：∵g(x)=+，且x∈，则g(x)≥3，当且仅当x=1时，g(x)min=3，当x=-时，f(x)取得最小值f，则-=1，得p=-2，∴f(x)=x2-2x+q，

又f(x)min=f(1)=3，∴1-2+q=3，∴q=4，

∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3，x∈，∴f(x)max=f(2)=4.

答案：B

6.(2016·重庆一中期中)定义在上的函数f(x)，f ′(x)是它的导函数，且恒有sinx·f ′(x)>cosx·f(x)成立，则(　　)

A.f>f B.f>f

C.f>2f D.ff(x)cosx，

则f ′(x)sinx-f(x)cosx>0，构造函数g(x)=，则g′(x)=，当x∈时，g′(x)>0，即函数g(x)在上单调递增，∴g0时，“不等式ax≤2ex-2+2恒成立”等价于“不等式a≤恒成立”，令f(x)=，则f ′(x)=，令h(x)=2xex-2-2ex-2-2，则f ′(x)与函数h(x)的符号一致，又因为h′(x)=2xex-2>0，所以h(x)在区间(0，+∞)上单调递增，因为h(2)=2×2×e2-2-2×e2-2-2=0，所以在区间(0,2)上，h(x)<0，即f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，+∞)上，h(x)>0，即f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，所以在区间[0，+∞)，函数f(x)的最小值为f(x)min=f(2)=2，所以a≤2，故选D.

答案：D

二、填空题

8.(2016·广东佛山联考)已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________.

解析：因为y′===，

∵ex+e-x≥2=2，∴ex+e-x+2≥4，

∴y′∈[-1,0)，即tanα∈[-1,0)，

∵0≤α<π，∴≤α<π.

答案：≤α<π