2017年海南高考数学基础训练试题（四）
来源 :中华考试网 2017-03-28
中15.已知两条直线l1：y=m 和l2：y=(m>0)，直线l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a 和b.当m变化时，的最小值为________.
8 设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
则-log2xA=m，log2xB=m，-log2xC=，log2xD=，
xA=2-m，xB=2m，xC=2-，xD=2，
a=|xA-xC|，b=|xB-xD|，
==2m·2=2m+.
又m>0，m+=(2m+1)+-≥2-=，
当且仅当(2m+1)=，即m=时取“=”号，
≥2=8.]
16.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________.
2 法一：如图，连接AC，BC，设CAB=θ，连接PC与AB交于点D.AC=BC，PAB是等边三角形，D是AB的中点，PC⊥AB，在圆C：(x-1)2+(y-2)2=2中，圆C的半径为，|AB|=2cos θ，|CD|=sin θ，在等边PAB中，|PD|=|AB|=cos θ，|PC|=|CD|+|PD|=sin θ+cos θ=2sin≤2.
法二：设|AD|=x，x(0，]，则|PC|=x+，记f(x)=x+，令f′(x)=+=0，得x=(0，]，f(x)max=f=2.]
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)如图3，ABC中，已知点D在BC边上，满足·=0.sin BAC=，AB=3，BD=.
(1)求AD的长;
(2)求cos C.
图3
解] (1)·=0，AD⊥AC，
sin∠BAC=sin=cosBAD.2分
sin ∠BAC=，cos∠BAD=.
在ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos BAD，4分
即AD2-8AD+15=0，
解得AD=5或AD=3 .6分
由于AB>AD，AD=3.
(2)在ABD中，由正弦定理可知=.
又由cosBAD=，
可知sinBAD=，8分
sin∠ADB==.10分
ADB=DAC+C，DAC=，
cos C=.12分
18.(本小题满分12分)为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中第二小组频数为7.
图
(1)求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n;
(2)现从跳绳次数在179.5,199.5]内的学生中随机选取2人，求至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的概率.
解] (1)由直方图知，(0.008+a+0.04+0.016+0.008)×10=1，所以a=0.028，
所以抽取的学生人数为n==25(人).4分
(2)跳绳次数在179.5,199.5]的学生人数有25×(0.016+0.008)×10=6(人).
其中跳绳次数在179.5,189.5]的学生人数有25×0.016×10=4(人)，记为a1，a2，a3，a4.
跳绳次数在189.5,199.5]的学生人数有25×0.008×10=2(人)，记为b1，b2.8分
从跳绳次数在179.5,199.5]的学生中随机选取2人，基本事件有：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，
其中至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的基本事件有9种，
故至少有一人跳绳次数在189.5,199.5]之间的概率为=0.6.12分
19.(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知ABCD，ADCD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于.
图
(1)求证：平面BCE平面BDE;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
解] (1)证明：平面ADEF平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
EDAD，ED平面ADEF，
ED⊥平面ABCD.又BC平面ABCD，BC⊥ED.
∵ED⊥平面ABCD，EBD为BE与平面ABCD所成的角.2分
设ED=a，则AD=a，BD=，
在RtEDB中，tanEBD===，
a=2，4分
在DBC中，BD=2，BC=2，CD=4，
BD2+BC2=CD2，BC⊥BD.
又BD∩ED=D，BC⊥平面BDE.
又BC平面BCE，平面BCE平面BDE.6分
(2)同理得AB平面ADEF，
AB为棱锥BADEF的高，
VBADEF=×2×2×2=.8分
AD⊥CD，ADED，CD∩ED=D，
AD⊥平面CDE，
AD为棱锥BCDE的高，
VBCDE=××4×2×2=，10分
VABCDEF=VBADEF+VBCDE=+=.12分