2017年甘肃高考数学基础提升训练（三）

【例1】　把函数y＝sin2x的图象按向量a(→)＝(－p，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝p)的图象，则j和B的值依次为 （    ）

A．p，－3 B．p，3 C．p，－3 D．－p，3

【分析】　根据向量的坐标确定平行公式为 ( )¢p¢y＝y＋3(6)，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.

【解析1】　由平移向量知向量平移公式 ( )¢p¢y＝y－3(6)，即 ( )¢p¢y＝y＋3(6)，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋p)，即到y＝sin(2x＋3(π))－3，由此知j＝p，B＝－3，故选C.

【解析2】　由向量a(→)＝(－p，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移p个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋p)－3，即y＝sin(2x＋3(π))－

3，由此知j＝p，B＝－3，故选C.

【例2】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量p(→)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q(→)＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）求函数y＝2sin²B＋cos2(C－3B)的最大值.

【分析】　首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角

的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.

【解】　（Ⅰ）∵p(→)、q(→)共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin²A＝4(3)，

又A为锐角，所以sinA＝2(3)，则A＝p.

（Ⅱ）y＝2sin²B＋cos2(C－3B)＝2sin²B＋cosp2(3－B－3B)

＝2sin²B＋cos(p－2B)＝1－cos2B＋2(1)cos2B＋2(3)sin2B

＝2(3)sin2B－2(1)cos2B＋1＝sin(2B－p)＋1.

∵B∈(0，p)，∴2B－p∈(－p，p6(5))，∴2B－p＝p，解得B＝p，y_max＝2.

【例3】　已知向量a(→)＝(3sinα,cosα)，b(→)＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(p2(3)，2π)，且a(→)⊥b(→)．

（Ⅰ）求tanα的值；

（Ⅱ）求cos(2(α)＋p)的值．

【解】　（Ⅰ）∵a(→)⊥b(→)，∴a(→)·b(→)＝0．而a(→)＝（3sinα，cosα），b(→)＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a(→)·b(→)＝6sin²α＋5sinαcosα－4cos²α＝0． 

由于cosα≠0，∴6tan²α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－3(4)，或tanα＝2(1)．

∵α∈（p2(3)，2π），tanα＜0，故tanα＝2(1)（舍去）．∴tanα＝－3(4)．

（Ⅱ）∵α∈（p2(3)，2π），∴2(α)∈（p4(3)，π）．

由tanα＝－3(4)，求得tan2(α)＝－2(1)，tan2(α)＝2（舍去）．∴sin2(α)＝5(5)，cos2(α)＝－5(5)，

∴cos(2(α)＋p)＝cos2(α)cosp－sin2(α)sinp＝－5(5)×2(1)－5(5)×2(3)＝－10(15)

【例3】　已知向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)，|a(→)－b(→)|＝5(2).(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－p＜β＜0＜α＜p，且sinβ＝－13(5)，求sinα的值.

【分析】　利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.

【解】　(Ⅰ)∵|a(→)－b(→)|＝5(2)，∴a(→)²－2a(→)·b(→)＋b(→)²＝5(4)，

将向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)代入上式得

1²－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋1²＝5(4)，∴cos(α－β)＝－5(3).

(Ⅱ)∵－p＜β＜0＜α＜p，∴0＜α－β＜π，

由cos(α－β)＝－5(3)，得sin(α－β)＝5(4)，

又sinβ＝－13(5)，∴cosβ＝13(12)，

∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝65(33).

【例5】　设函数f(x)＝a(→)·b(→).其中向量a(→)＝(m，cosx)，b(→)＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(p)＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

解：（Ⅰ）f(x)＝a(→)·b(→)＝m(1＋sinx)＋cosx，

由f(p)＝2，得m(1＋sinp)＋cosp＝2，解得m＝1.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋p)＋1，

当sin(x＋p)＝－1时，f(x)的最小值为1－.

【例6】　已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，a＝2，且m(→)·n(→)＝2(1)．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．

（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

【解】　（Ⅰ）∵m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，且m(→)·n(→)＝2(1)，

∴－cos²2(A)＋sin²2(A)＝2(1)，即－cosA＝2(1)，

又A∈(0，π)，∴A＝p3(2).

又由S△ABC＝2(1)bcsinA＝，所以bc＝4，

由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bc·cosp3(2)＝b²＋c²＋bc，∴16＝(b＋c)²，故b＋c＝4.

（Ⅱ）由正弦定理得：sinB(b)＝sinC(c)＝sinA(a)＝p3(2)3(2)＝4，又B＋C＝p－A＝p，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(p－B)＝4sin(B＋p)，

∵0＜B＜p，则p＜B＋p＜p3(2)，则2(3)＜sin(B＋p)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4].