三、解答题

　　10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.

　　(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期;

　　(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f=M，且a=2，求bc的最大值.

　　解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，

　　即y=2cos2x+2sin xcos x

　　=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，

　　所以f(x)=2sin+1.

　　又T===π，

　　所以函数f(x)的最小正周期为π.

　　(2)由(1)易得M=3，

　　于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因为A为三角形的内角，所以A=.

　　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是当且仅当b=c=2时，bc取得最大值，且最大值为4.

　　11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].

　　(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间;

　　(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.

　　命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式及三角函数的性质.(1)根据两角和与差的三角函数公式将函数f(x)化简，然后在所给角的取值范围内讨论函数的单调性;(2)利用正弦定理进行求解.

　　解析：(1)因为f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.

　　所以f(x)的最小正周期T==π.

　　因为x[0，π]，所以2x+，

　　当2x+，即x时，函数f(x)为单调递增函数;

　　当2x+，即x时，函数f(x)为单调递减函数;

　　当2x+，即x时，函数f(x)为单调递增函数.

　　所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

　　(2)因为在ABC中，f=，

　　所以sin=，所以sin=1，

　　因为0

　　又因为a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，

　　所以sin B=，即B=或B=，

　　所以C=或C=.

　　链接高考：高考对于三角函数的考查一般是综合考查同角三角函数关系、诱导公式、倍角公式和两角和与差的三角函数公式，运用这些公式先对函数解析式进行化简，再进一步研究其性质.

　　12.已知函数f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.

　　(1)若函数f(x)的图象过点E，F，求函数f(x)的解析式;

　　(2)如图，点M，N是函数y=f(x)的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上一点P满足·=，求函数f(x)的最大值.

　　命题立意：本题考查三角函数的恒等变换、平面向量的相关内容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识.对于第(1)问，根据函数f(x)的图象过点E，F建立方程组，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，从而可得函数解析式;对于第(2)问，一种方法是先求出点M，N的坐标，再利用·=，即可求出函数f(x)的最大值;另一种方法是过点P作PC垂直x轴于点C，利用·=，求得||=，从而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函数f(x)图象上，即可求得函数f(x)的最大值.

　　解析：(1) 函数f(x)的图象过点E，F，

　　∴ sin=sin，

　　展开得cos θ+sin θ=.

　　cos θ=sin θ，tan θ=，

　　θ∈， θ=，

　　函数f(x)=Asin，

　　f=，

　　A=2.

　　f(x)=2sin.

　　(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 点M，N分别位于y轴两侧，则可得M，N，

　　=，=，

　　·==， +t=，

　　θ+2t=.

　　P在函数图象上，

　　Asin(θ+2t)=Asin=，

　　A=. 函数f(x)的最大值为.

　　解法二：过点P作PC垂直x轴于点C.

　　令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，

　　M，N分别位于y轴两侧，可得M，N， ||=，

　　·=||·||cos PNM

　　=·||cos PNM=·||=，

　　||=， ||=||-||=，

　　即+t=.

　　θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，

　　A=. 函数f(x)的最大值为.

　　导师语要：本题较好的把三角函数与平面向量结合起来进行考查，既考查了三角函数有关的运算，又考查了向量的数量积运算.近几年的高考中常常把三角函数与平面向量结合考查，也常常把三角函数与正余弦定理结合起来考查.

　　13.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

　　(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;

　　(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.

　　解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得

　　f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

　　=sin 2x+cos 2x=2sin，

　　所以函数f(x)的最小正周期为π.

　　因为f(x)=2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为-1.

　　(2)由(1)可知f(x0)=2sin，

　　因为f(x0)=，所以sin=.

　　由x0，得2x0+，

　　从而cos=-=-，

　　所以cos 2x0=cos

　　=coscos +sinsin