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2018年高考数学基础练习试题及答案(3)

来源 :中华考试网 2017-11-18

  三、解答题

  10.已知a=(2cos x+2sin x,1),b=(y,cos x),且a∥b.

  (1)将y表示成x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期;

  (2)记f(x)的最大值为M,a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C对应的边长,若f=M,且a=2,求bc的最大值.

  解析:(1)由a∥b得,2cos2x+2sin xcos x-y=0,

  即y=2cos2x+2sin xcos x

  =cos 2x+sin 2x+1=2sin+1,

  所以f(x)=2sin+1.

  又T===π,

  所以函数f(x)的最小正周期为π.

  (2)由(1)易得M=3,

  于是由f=M=3,即2sin+1=3sin=1,因为A为三角形的内角,所以A=.

  由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,解得bc≤4,于是当且仅当b=c=2时,bc取得最大值,且最大值为4.

  11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x,x[0,π].

  (1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间;

  (2)若ABC中,f=,a=2,b=,求角C.

  命题立意:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式及三角函数的性质.(1)根据两角和与差的三角函数公式将函数f(x)化简,然后在所给角的取值范围内讨论函数的单调性;(2)利用正弦定理进行求解.

  解析:(1)因为f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.

  所以f(x)的最小正周期T==π.

  因为x[0,π],所以2x+,

  当2x+,即x时,函数f(x)为单调递增函数;

  当2x+,即x时,函数f(x)为单调递减函数;

  当2x+,即x时,函数f(x)为单调递增函数.

  所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

  (2)因为在ABC中,f=,

  所以sin=,所以sin=1,

  因为0

  又因为a=2,b=,所以由正弦定理=,得=,

  所以sin B=,即B=或B=,

  所以C=或C=.

  链接高考:高考对于三角函数的考查一般是综合考查同角三角函数关系、诱导公式、倍角公式和两角和与差的三角函数公式,运用这些公式先对函数解析式进行化简,再进一步研究其性质.

  12.已知函数f(x)=Asin(2x+θ),其中A≠0,θ.

  (1)若函数f(x)的图象过点E,F,求函数f(x)的解析式;

  (2)如图,点M,N是函数y=f(x)的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点,函数图象上一点P满足·=,求函数f(x)的最大值.

  命题立意:本题考查三角函数的恒等变换、平面向量的相关内容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式等知识.对于第(1)问,根据函数f(x)的图象过点E,F建立方程组,可求得θ的值,利用f=,可求得A的值,从而可得函数解析式;对于第(2)问,一种方法是先求出点M,N的坐标,再利用·=,即可求出函数f(x)的最大值;另一种方法是过点P作PC垂直x轴于点C,利用·=,求得||=,从而||=||-||=,由此可得θ+2t=,利用P在函数f(x)图象上,即可求得函数f(x)的最大值.

  解析:(1) 函数f(x)的图象过点E,F,

  ∴ sin=sin,

  展开得cos θ+sin θ=.

  cos θ=sin θ,tan θ=,

  θ∈, θ=,

  函数f(x)=Asin,

  f=,

  A=2.

  f(x)=2sin.

  (2)解法一:令f(x)=Asin(2x+θ)=0, 2x+θ=kπ,kZ, 点M,N分别位于y轴两侧,则可得M,N,

  =,=,

  ·==, +t=,

  θ+2t=.

  P在函数图象上,

  Asin(θ+2t)=Asin=,

  A=. 函数f(x)的最大值为.

  解法二:过点P作PC垂直x轴于点C.

  令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ,kZ,

  M,N分别位于y轴两侧,可得M,N, ||=,

  ·=||·||cos PNM

  =·||cos PNM=·||=,

  ||=, ||=||-||=,

  即+t=.

  θ+2t=, Asin(θ+2t)=Asin =,

  A=. 函数f(x)的最大值为.

  导师语要:本题较好的把三角函数与平面向量结合起来进行考查,既考查了三角函数有关的运算,又考查了向量的数量积运算.近几年的高考中常常把三角函数与平面向量结合考查,也常常把三角函数与正余弦定理结合起来考查.

  13.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

  (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;

  (2)若f(x0)=,x0,求cos 2x0的值.

  解析:(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1,得

  f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

  =sin 2x+cos 2x=2sin,

  所以函数f(x)的最小正周期为π.

  因为f(x)=2sin在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f(0)=1,f=2,f=-1,所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1.

  (2)由(1)可知f(x0)=2sin,

  因为f(x0)=,所以sin=.

  由x0,得2x0+,

  从而cos=-=-,

  所以cos 2x0=cos

  =coscos +sinsin

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