11.(12分)如图所示为仓储公司常采用的“自动化”货物装卸装置，两个相互垂直的斜面固定在地面上，货箱A(含货物)和配重B通过与斜面平行的轻绳跨过光滑滑轮相连。A装载货物后从h=8.0 m高处由静止释放，运动到底端时，A和B同时被锁定，卸货后解除锁定，A在B的牵引下被拉回原高度处，再次被锁定。已知θ=53°，B的质量M为1.0×103 kg，A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。

(1)为使A由静止释放后能沿斜面下滑，其质量m需要满足什么条件?

(2)若A的质量m=4.0×103 kg，求它到达底端时的速度v;

(3)为了保证能被安全锁定，A到达底端的速率不能大于12 m/s。请通过计算判断：当A的质量m不断增加时，该装置能否被安全锁定。

解析：(1)设右斜面倾角为β，货箱由静止释放后能沿斜面下滑，则F合>0

mgsin θ-Mgsin β-μmgcos θ-μMgcos β>0

解得：m>2.0×103 kg。

(2)对系统应用动能定理：

mgh-Mg-(μmgcos θ+μMgcos β)=(M+m)v2

v=2 m/s。

(3)当A的质量m与B的质量M之间关系满足mM时，货箱下滑的加速度最大，到达斜面底端的速度也最大，此时有mgsin θ-μmgcos θ=mam

am=5 m/s2

vm2=2amL

货箱到达斜面底端的最大速度vm=10 m/s<12 m/s

所以，当A的质量m不断增加时，该运输装置均能被安全锁定。

答案：(1)m>2.0×103 kg　(2)2 m/s

(3)当A的质量m不断增加时，该装置能被安全锁定。

12.(20分)如图所示，两平行金属板右侧的平行直线A1、A2间，存在两个方向相反的匀强磁场区域和，以竖直面MN为理想分界面。两磁场区域的宽度相同，磁感应强度的大小均为B，区的磁场方向垂直于纸面向里。一电子由静止开始，经板间电场加速后，以速度v0垂直于磁场边界A1进入匀强磁场，经t=的时间后，垂直于另一磁场边界A2离开磁场。已知电子的质量为m，电荷量为e。

(1)求每一磁场区域的宽度d;

(2)若要保证电子能够从磁场右边界A2穿出，加速度电压U至少应大于多少?

(3)现撤去加速装置，使区域的磁感应强度变为2B，电子仍以速率v0从磁场边界A1射入，并改变射入时的方向(其他条件不变)，使得电子穿过区域的时间最短。求电子穿过两区域的时间t。

解析：(1)电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：

ev0B=m

电子做圆周运动的周期：T=

电子在每一磁场中运动的时间为：t1===

电子的在磁场中转过圆心角：θ=

磁场的宽度：d=rsin 45°，

解得：d=。

(2)若电子恰好不从A2穿出磁场，电子运动轨迹应和MN相切，在区域中转半圈后从A1离开磁场，运动轨迹如图甲所示：

设此时对应的电压为U，电子进入磁场时的速度为v，由牛顿第二定律得：evB=m

由几何知识得：R=d

在加速电场中，由动能定理得：eU=mv2-0

解得：U=。

(3)由于速率一定，要电子穿过区域的时间最短，则需电子穿过区域的弧长最短(对应的弦长最短)。运动轨迹如图乙所示：

在区域的半径：

r1=

由图可知：sin θ=，解得θ=。

在区域