三、解答题

　　11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.

　　(1)设bn=log2(an-1)，求证：数列{bn+1}为等比数列;

　　(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

　　命题立意：本题主要考查函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时，首先根据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列，这样就求出数列{bn}的通项公式，进一步就会求出数列{cn}的通项公式，从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.

　　解析：(1)证明： 函数f(x)=x2+bx为偶函数，

　　b=0， f(x)=x2，

　　an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，

　　an+1-1=2(an-1)2.

　　又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，

　　b1=log2(a1-1)=1，

　　====2，

　　数列{bn+1}是首项为2，公比为2的等比数列.

　　(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，

　　cn=nbn=n2n-n.

　　设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，

　　则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

　　-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

　　=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，

　　An=(n-1)2n+1+2.

　　设Bn=1+2+3+4+…+n，则Bn=，

　　Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.

　　12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

　　(1)求f的值;

　　(2)数列{an}满足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;

　　(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，试比较Tn与Sn的大小.

　　解析：(1)令x=，

　　则有f+f=f+f=1.

　　f=.

　　(2)令x=，得f+f=1，

　　即f+f=1.

　　an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，

　　an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

　　两式相加，得

　　2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，

　　an=，nN*.

　　(3)bn==，

　　当n=1时，Tn=Sn;

　　当n≥2时，

　　Tn=b+b+…+b

　　=4

　　<4

　　=4

　　=4=8-=Sn.

　　综上，Tn≤Sn.

　　13.某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下，可卖出b千克.若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.

　　(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s;

　　(2)试写出销售量s与n的函数关系式;

　　(3)当a=50，b=200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少?

　　解析：(1)当广告费为1千元时，销售量s=b+=.

　　当广告费为2千元时，销售量s=b++=.

　　(2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量，

　　由题意得，s1-s0=，

　　s2-s1=，

　　……

　　sn-sn-1=.

　　以上n个等式相加得，

　　sn-s0=+++…+.

　　即s=sn=b++++…+.

　　==b.

　　(3)当a=50，b=200时，设获利为Tn，

　　则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，

　　设bn=20--n，

　　则bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

　　当n≤2时，bn+1-bn>0;

　　当n≥3时，bn+1-bn<0.

　　所以当n=3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时s=375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元.