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2017年高考数学提分专项练习及答案(3)

来源 :中华考试网 2016-10-12

  三、解答题

  11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1,且a1=3,an>1.

  (1)设bn=log2(an-1),求证:数列{bn+1}为等比数列;

  (2)设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn.

  命题立意:本题主要考查函数的性质,数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时,首先根据二次函数的奇偶性求出b值,确定数列通项的递推关系式,然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列,这样就求出数列{bn}的通项公式,进一步就会求出数列{cn}的通项公式,从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.

  解析:(1)证明: 函数f(x)=x2+bx为偶函数,

  b=0, f(x)=x2,

  an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1,

  an+1-1=2(an-1)2.

  又a1=3,an>1,bn=log2(an-1),

  b1=log2(a1-1)=1,

  ====2,

  数列{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

  (2)由(1),得bn+1=2n, bn=2n-1,

  cn=nbn=n2n-n.

  设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,

  则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,

  -An=2+22+23+…+2n-n×2n+1

  =-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2,

  An=(n-1)2n+1+2.

  设Bn=1+2+3+4+…+n,则Bn=,

  Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.

  12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

  (1)求f的值;

  (2)数列{an}满足:an=f(0)+f+f+…+f+f(1),求an;

  (3)令bn=,Tn=b+b+…+b,Sn=8-,试比较Tn与Sn的大小.

  解析:(1)令x=,

  则有f+f=f+f=1.

  f=.

  (2)令x=,得f+f=1,

  即f+f=1.

  an=f(0)+f+f+…+f+f(1),

  an=f(1)+f+f+…+f+f(0).

  两式相加,得

  2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1,

  an=,nN*.

  (3)bn==,

  当n=1时,Tn=Sn;

  当n≥2时,

  Tn=b+b+…+b

  =4

  <4

  =4

  =4=8-=Sn.

  综上,Tn≤Sn.

  13.某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.

  (1)当广告费分别为1千元和2千元时,用b表示销售量s;

  (2)试写出销售量s与n的函数关系式;

  (3)当a=50,b=200时,要使厂家获利最大,销售量s和广告费n分别应为多少?

  解析:(1)当广告费为1千元时,销售量s=b+=.

  当广告费为2千元时,销售量s=b++=.

  (2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量,

  由题意得,s1-s0=,

  s2-s1=,

  ……

  sn-sn-1=.

  以上n个等式相加得,

  sn-s0=+++…+.

  即s=sn=b++++…+.

  ==b.

  (3)当a=50,b=200时,设获利为Tn,

  则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×,

  设bn=20--n,

  则bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

  当n≤2时,bn+1-bn>0;

  当n≥3时,bn+1-bn<0.

  所以当n=3时,bn取得最大值,即Tn取得最大值,此时s=375,即该厂家获利最大时,销售量和广告费分别为375千克和3千元.

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