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2017年北京高考数学提分专项练习及答案(二)

来源 :中华考试网 2016-12-06

三、解答题

11.

如图,四边形ABCD与A′ABB′都是正方形,点E是A′A的中点,A′A平面ABCD.

(1)求证:A′C平面BDE;

(2)求证:平面A′AC平面BDE.

解题探究:第一问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直,从而得到平面与平面垂直.

解析:(1)设AC交BD于M,连接ME.

四边形ABCD是正方形,

M为AC的中点.

又 E为A′A的中点,

ME为A′AC的中位线,

ME∥A′C.

又 ME⊂平面BDE,

A′C⊄平面BDE,

A′C∥平面BDE.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形, BD⊥AC.

∵ A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

A′A⊥BD.

又AC∩A′A=A, BD⊥平面A′AC.

BD⊂平面BDE,

平面A′AC平面BDE.

12.

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.

(1)求证:D1CAC1;

(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由.

命题立意:本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.

解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D, DC=DD1,

四边形DCC1D1是正方形,

DC1⊥D1C.

又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,

AD⊥平面DCC1D1,

又D1C平面DCC1D1,

AD⊥D1C.

∵ AD⊂平面ADC1,DC1平面ADC1,

且AD∩DC1=D,

D1C⊥平面ADC1,

又AC1平面ADC1,

D1C⊥AC1.

(1)题图

(2)题图

(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN,

要使D1E平面A1BD,

可使MND1E,又M是AD1的中点,

则N是AE的中点.

又易知ABN≌△EDN,

AB=DE.

即E是DC的中点.

综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.

13.

已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明:MN平面A′ACC′;

(2)求三棱锥C-MNB的体积.

命题立意:本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,

四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,

AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点.

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′,

MN∥平面A′ACC′.

(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,

BAC=90°, BC==2,

又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,

S△BCN=×2×4=4.

A′B′=A′C′=2,BAC=90°,点N为B′C′的中点,

A′N⊥B′C′,A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′,

A′N⊥BB′,

A′N⊥平面BCN.

又M为A′B的中点,

M到平面BCN的距离为,

VC-MNB=VM-BCN=×4×=.

14.

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4.

(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

命题立意:本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等,意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力,考查化归与转化思想.

解析:(1)证明:在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,

所以BD平面PAD,

又BD平面MBD,

所以平面MBD平面PAD.

(2)过点P作OPAD交AD于点O,

因为平面PAD平面ABCD,

所以PO平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高.

又PAD是边长为4的等边三角形,

所以PO=×4=2.

在四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,

所以四边形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=,此即为梯形ABCD的高.

所以四边形ABCD的面积S=×=24.

故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16.

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