三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.

【答案】（Ⅰ）（，，，）；（Ⅱ）.

（II）由（I）知．

考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.

（17）（本小题13分）

某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；

（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值×对应频率即为人均水费估计值进行求解即可.

试题解析：（I）由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间，，，，内的频

率依次为，，，，．

考点：频率分布直方图、频率、平均数的估计值.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，.

（I）                       求证：；

（II）                     （II）求证：；

（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III）取中点，连结，则，根据线面平行判定定理证明平面.

试题解析：（I）因为平面，

所以．

又因为，

所以平面．

考点：空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力

（19）（本小题14分）

已知椭圆C：过A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；学.科网

（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析.

令，得，从而．

所以四边形的面积

．

从而四边形的面积为定值．

考点：椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，运算求解能力.

（20）（本小题13分）

设函数

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）见解析.

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点