某家庭准备以抵押贷款方式购买一套住房。该家庭月总收入16000元，最多能以月收入的30%支付住房贷款的月还款额。年贷款利率为12%，最长贷款期限20年，最低首付款为房价的30%，若采用按月等额偿还方式，

　　问：

　　(1)该家庭能购买住房的最高总价是多少?若第五年末，该家庭月收入突增为18000元，第5年末银行贷款利率上调为15%，为保持原月偿还不变，则：

　　(2)该家庭需在第6年初一次性提前偿还贷款多少元?

　　(3)如果不提前偿还贷款，则需将贷款期限延长多少年?(8分)

　　正确答案：(1)计算该家庭购买住房的最高总价

　　月还款额：A=16000×30%=4800(元)(0.5分)

　　最高贷款额：P=A/i[1-1/(1+i)n ]= 4800/(1%) [1-1/(1+1%)240 ]=435933.20(元)=43.59(万元)

　　(本步计算中，i取1%，n取240,给0.5分)

　　购买住房的最高总价：43.59/70%=62.27(万元)(0.5分)

　　(2)计算第6年初一次性提前偿还款

　　解法一：

　　第5年末尚余贷款本金：

　　P’=A/i[1-1/(1+i)n' ]= 4800/(1%)[1-1/(1+1%)180 ]=399943.99(元)=39.99万元

　　(本步计算中，i取1%，n′取180，给0.5分)

　　调息后的月还款额：

　　A’=P’[〖i' (1+i')〗n'/(〖(1+i')〗n'-1)]= 399943.99×〖1.25%(1+1.25%)〗180/(〖(1+1.25%)〗180-1)=5597.56 (1分)

　　(本步计算中，i′取1.25%，n′取180，给0.5分)

　　调息后每月增加的还款额：5597.56-4800=797.56(元)(0.5分)

　　提前还款额：

　　P”=797.56/(1.25%) [1-1/(1+1.25%)180 ]=56985.38(元)=5.70(万元)(1分)

　　解法二：

　　设提前还款额为P″，则有

　　A/i'[1- 1/〖(1+i')〗n' ]+p"=p' (1分)

　　第5年未尚余贷款本金：

　　P’=A/i [1-1/(1+i)n' ]=4800/(1%) [1-1/(1+1%)180 ]=399943.99(元)=39.99万元(1分)

　　P”=P’-A/i'[1-1/(1+i' )n' ]= 399943.99-4800/(1.25%) [1-1/(1+1.25%)180 ](1分)=56985.70(元)=5.7(万元)(0.5分)

　　(3)贷款延长期的计算

　　设从第5年末开始的还款期为X月，则有

　　P’=A/i' [1-1/(1+i' )x ](0.5分)

　　399943.99=5400/1.25%[1-1/(1+1.25%)x ] (0.5分)

　　x=209.35(月)(0.5分)

　　延长期：209.35-180=19.35(月)≈1.6 (年) (0.5分)