平面的一般方程

1.       平面的一般方程为

                    Ax+By+Cz+D=0     

       其中n=(A,B,C)为法向量

2.       各种特殊情形

a)                            D=0,平面Ax+By+Cz=0经过原点;

b)                           A=0,平面By+Cz+D=0平行于x轴;

c)                            B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y轴;

d)                           C=0,平面Ax+By+D=0平行于z轴;

e)                            A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;

f)                            A=C=0,平面By+D=0平行于 xoz平面;

g)                           B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.

例3.      求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.

       解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0,       Þ    A=0;

平面经过x轴,则平面经过原点,                         Þ    D=0;

故可设平面方程为: By+Cz=0,

又平面经过点(4,-3,-1),   Þ           -3B-C=0,或C=-3B.

代入有                    y-3z=0.

例4.      设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)

解:设平面方程为          Ax+By+Cz+D=0

      代入  P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)            得

               A=-D/a,         B=-D/b,         C=-D/c,

      代入方程并消去D得平面方程:

此方程称为平面的截距式方程,

a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.