1、初等拉灯问题——倍数、约数

　　例1：走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里有多少盏灯是亮的?

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【解析】

　　(1)原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。

　　(2)可从最简单的情况考虑，把拉过某号的学生号码写出来寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6是1,2，3,4号学生拉过，10是1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才是奇数，所以只有1，4，9号灯亮着。本题答案：1，4，9号灯亮着，共有3盏灯。选B。

　　总结：此类拉灯问题比较简单，假如把数字扩大看起来会很麻烦，但思路还是相同的，在做题是要擅长归纳总结，提炼出基本模型。

　　2、拉登难题——三集合容斥原理型

　　例2：有1000盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着。现按其顺序编号为1、2、3、4、5······1000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的电灯有多少盏?

　　A.468 B.499 C.501 D.532

　　【解析】

　　(1) 原来电灯亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。(2) 注意：此题目拉灯的方法不同前三个例题。编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯依次拉。可以据此，看做是三集合问题。(3) 数据计算：能被2整除的有1000/2=500个，能被3整除的有1000/3=333个，能被5整除的有1000/5=200个;既能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理，能被2,5整除的有100个，能被3,5整除的有66个，能同时被2、3、5整除的有33个。拉奇数次 500+333+200-2(166+100+66)+4*33=501个，最开始为亮，奇数次为灭，则亮灯=1000-501=499个，选择B。