自考《初中数学学科基础》章节习题：第6章

　　第六章：

　　1.谈一谈你对数学抽象层次性的理解。

　　大体上分为三个层次：(1)把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。(2)去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。(3)通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。

　　2.如何理解图形与图形关系的抽象?

　　对数学图形的认识和理解，应当注意把各种数量关系、图形的获得或抽象过程告诉学生，而不是仅仅把结果告诉学生。就几何图形而言，正是现实生活中的直线、三角形、圆等几何图形才构成了初等几何的数学抽象模式。如果脱离现实中的几何对象抽象成模型的过程，初等几何就变成纯粹的逻辑推理，从而失去了与现实联系的渠道。

　　在中小学数学教学中，我们运用数学方法把具体问题抽象为数学问题。在这一过程中，我们要善于突出数学数量抽象模式与图形抽象模式的交互作用，运用直观、形象的数学模型来辅助学生理解数学、运用数学的抽象能力。

　　在教学中还应当强调的一点是，要尽量利用具有直观、形象作用的数学模型。尤其是几何图形的应用，它可以帮助低年龄的学生很快地接受一些抽象性的数学概念。在中小学的不同年龄段，对不同数学模型的抽象能力有很大差异。如何运用这种差异不断有意识地强化数学模型的抽象程度，这也是教师在教学中应当注意的问题。

　　3.简述中小学数学常见数学模型的抽象。

　　(一)经济数学模型的抽象:在人类的生产生活中，有许多实际问题可以用初等数学来解决，对这些具体问题的抽象处理就形成了许多有关这些方面的数学模型。这些问题主要表现在工程进度、人口增长、收入变等方面。这些问题运用的数学工具大多是代数方程、指数函数以及其它相关的函数概念。这一类的数学模型在现实生活中随处可见，中小学的数学教学应以这些为例深入浅出地抽象、构造及运用这些模型。

　　(二)运动数学模型的抽象:一些事物在运动中表现出速度、加速度、时间、距离之间的关系，这类问题构成了带有运动特征的数学模型。这些问题一般可以用抽象的代数方程、二次函数等方面的数学方法给予解决。在中小学数学中，一些追击问题、行程问题都是这方面的典型代表。在行程问题的路程、时间、速度三个因素中，如果路程固定，则时间随速度变化。同样的，如果时间固定，则路程随速度变化，如此等等。在这里，如果按照应用题方式解题是一种传统的教学形式。如果在学习了这种抽象成数学模型的解题方法之后，创设情景，让学生自己把生活中的具体问题构成一个行程、工程等方面的比例问题，那就会使学生体会到数学学习的乐趣，也会使他们增长信心，这样的数学教学效果才是我们素质教育中所要求的。

　　(三)逻辑程序数学模型的抽象: 从逻辑程序模型的意义上说，我们的数学教育不仅仅是把推理过程表述出来，而是要把它抽象成一种可以独立构建的逻辑程序模型。此时我们的要求不是从几何的角度，而是从逻辑程序的自身角度来看待问题。这样我们在处理数学问题时，就不仅是从具体数学问题层次，而是从数学问题解决的逻辑程度的层次来考虑数学问题的解决，这也是中国古代数学最为值得骄傲的传统。

　　对于中小学及初等数学中的数学模型抽象方法和问题，我们还可找出一些，上面提到的常见问题只是中小学数学中出现的比较多的类型。我们在实际教学中可以根据数学模型抽象方法选择一些具体的问题进行数学模型的抽象教学研究。考虑到素质教育的深入开展，应当格外注意中小学数学与实际生活相联的数学模型抽象问题的教学，把学生从公式、定理的逻辑推演引向注重利用抽象的数学去解决具体问题。

　　4.结合初中教学实际谈一谈你对数学抽象的理解。

　　数学抽象的教学应当直接指向学生在与数学相关问题上的一般思维水平方面的发展。事实上，义务教育阶段的数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多的数学题了。这些学生的未来会遇到不同的挑战——一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否能够“思考数学”非常重要;另一些人(他们是受教育的学生中的绝大多数)就业以后基本上不需要解纯粹的数学题(除了参加数学考试)，对他们而言，“思考数学”是一种需要，但更多的或许是能够进行“数学的思考”，即在面临各种问题情境(特别是非数学问题)时，能够从数学的角度去思考问题、能够发现其中所存在的数学现象、并将之抽象为数学问题，运用数学的知识与方法去解决问题。对所有的未来公民来说，抽象思维和形象思维水平，归纳推理与演绎推理能力等都是不可缺少的。