自考《初中数学学科基础》章节习题：第1章

　　第一章

　　1.结合数系扩充的历程，谈谈你对数系扩充的理解。

　　“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的

　　原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。

　　第一次扩充：分数的引进;第二次扩充：0的引进;第三次扩充：负数的引进;第四次扩充：无理数的引进;第五次扩充：复数的引进。

　　数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：(一)原数集是扩充后新数集的真子集;(二)原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义;(三)原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持;(四)在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行;(五)新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。

　　2.简述“数”发展到“式”的重要意义。

　　人类从“数”的具体运算到利用“式”或者符号进行抽象的运算，却经历了漫长的岁月。而这一数值计算过程的符号化过程，不仅导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，也包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，也即实现了代数化将直接导向数学的机械化，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，也成为近代数学的显著特征。

　　而这一切都要归功于被誉为代数学之父的法国数学家韦达，在他之前，人们只解决带有数字系数的方程，虽然知道可以用同样的方法来求解，但却认为任意两个不同数字系数的一元二次方程是不一样的。而韦达用ax2+bx+c=0一般地表示一元二次方程，其中字母系数可以表示任何数，因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是整个一类方程的计算，对于具体数字的计算只要带入求根公式就可以了。由此可见，从数字抽象到符号体系，得到的结果往往就具有了一般性，因而也就具有了更加广泛的应用性。

　　由此可见，人类从事物抽象到数字固然实现了人类抽象思维的第一次飞跃，然而从数字到符号表达的第二次抽象对人类思维和发展的影响无疑更加巨大，更有划时代的意义。

　　3.方程概念的核心思想是什么?

　　方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。

　　方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。《数学课程标准》指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。

　　4.简述不等式蕴含的思想?

　　关于不等式的重要思想和方法主要包含如下几种重要的思想:

　　(一)模型思想 ：通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。

　　(二)辩证思想：值得一提的是，可别小看这种思想，恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题——教材中的“不等式”一章中的大部分问题几乎都可以利用这种思想方法加以解决。

　　(三)数形结合思想：我们不仅要会解不等式并能运用数轴表示不等式的解集，而且，解不等式组时往往需要借助数轴,这些都是数形结合思想的具体体现。

　　总之，在解决不等式的有关问题时，我们要注意数形结合，尤其是要联系数轴或者函数、方程、等式等内容，注意不等式与等式之间的转换。同时，要深刻体会不等关系的广泛存在性，注意使用恰当的不等式来刻画这种不等关系，这也就是“建立不等式的模型”。

　　5.函数概念的核心思想是什么?

　　函数概念已经成为初中数学中最为重要概念之一。在初中数学课程改革和数学教学中，深刻理解函数的核心思想，把握函数定义的本质，对处理好函数这部分内容的教学至关重要。

　　通过对函数各种定义的梳理，我们可以看到函数概念的核心思想。在整个基础教育阶段，数学的核心是研究关系，具体来说，是研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数;二是因变量的取值是唯一的;三是必须借助数字以外的符号表示函数。