2019年中考数学练习题：几何与函数问题

　　【知识纵横】

　　客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。

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　　【典型例题】

　　【例1】(上海市)已知，，(如图).是射线上的动点(点与点不重合)，是线段的中点.

　　(1)设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域;

　　(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长;

　　(3)联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长.

　　【思路点拨】(1)取中点，联结;(2)先求出 DE; (3)分二种情况讨论。

　　【例2】(山东青岛)已知：如图(1)，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s;点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s;连接.若设运动的时间为()，解答下列问题：

　　(1)当为何值时，?

　　(2)设的面积为()，求与之间的函数关系式;

　　(3)是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值;若不存在，说明理由;

　　(4)如图(2)，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形?若存在，求出此时菱形的边长;若不存在，说明理由.

　　图(1) 图(2)

　　【思路点拨】(1)设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC;(2)过点P作PH⊥AC于H.

　　(3)构建方程模型，求t;(4)过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。

　　【例3】(山东德州)如图(1),在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.

　　(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;

　　(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切?

　　(3)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少?

　　图(1) 图(2) 图(3)

　　【思路点拨】(1)证△AMN ∽ △ABC;(2)设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD(用x的代数式表示)，再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA;(3)先找到图形娈化的分界点，=2。然后 分两种情况讨论求的最大值： ① 当0<≤2时， ② 当2<<4时。

　　【学力训练】

　　1、(山东威海) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5.点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F.

　　(1)求梯形ABCD的面积;

　　(2)求四边形MEFN面积的最大值.

　　(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，

　　求出正方形MEFN的面积;若不能，请说明理由.

　　2、(浙江温州市)如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动.设，.

　　(1)求点到的距离的长;

　　(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);

　　(3)是否存在点，使为等腰三角形?若存在，

　　请求出所有满足要求的的值;若不存在，请说明理由.

　　3、(湖南郴州)如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线，垂足为F. FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF..

　　(1) 求证：ΔBEF ∽ΔCEG.

　　(2) 当点E在线段BC上运动时，△BEF和

　　△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.

　　(3)设BE=x，△DEF的面积为 y，请你求

　　出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何

　　值时,y有最大值，最大值是多少?

　　4、(浙江台州)如图，在矩形中，，，点是边上的动点(点不与点，点重合)，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为.

　　(1)求的度数;

　　(2)当取何值时，点落在矩形的边上?

　　(3)①求与之间的函数关系式;

　　②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的?