2019年中考数学练习题：方程观点解几何计算题

　　概述：

　　含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程.

　　典型例题精析

　　例1.有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长.

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　　分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10.由题意知

　　△ ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，

　　设CD=x，则DE=x，而EB=4，

　　一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程.

　　∴在Rt△DEB中，(8-x)2=x2+42，

　　64-16x+x2=x2+16，

　　16x=48， x=3(cm).

　　例2.已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长.

　　解：∵CE：ED=1：4，

　　∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得

　　CE·ED=AE·EB，

　　即x·4x=2×2，

　　4x2=4， x=1.

　　∴CD=x+4x=5x=5.

　　例3.如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，PM=a，求△PMB的周长.

　　分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PB·PA(方程出来了)

　　得(a)2=x(x+2a)，

　　x2+2ax-3a2=0，

　　(x+3a)(x-a)=0，

　　∴x1=a，x2=-3a(舍去)

　　∴x=a，即BP=a，连结MO(常作辅助线)

　　则∠OMP=90°，∵OB=BP=a，则MB为Rt△OMP的斜边上的中线，∴MB=OP=a.

　　∴△MBP的周长为2a+a.

　　例4.如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径.

　　分析：设半径为R，(一个未知数建立一个方程即可)，连OM、ON、OC，

　　则OM=ON=R，用面积，S△AOC+S△BOC=S△ABC，

　　得6R+8R=6×8(一元一次方程)

　　中考样题训练:

　　1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC边上的一点，tan∠ADC是方程3(x2+)-5(x+)=2的一个根，求CD的长.

　　2.如图，已知直线BC切⊙O于C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度数.

　　3.已知，如图，C为半圆上一点，，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F.

　　(1)求证：AD=CD;

　　(2)若DF=，tan∠ECB=，求PB的长.

　　4.已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.

　　(1)k取何值时，方程有两个实数根;

　　(2)当矩形的对角线长为时，求k的值.

　　5.如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：

　　(1)求证：CP是⊙O的切线;

　　(2)当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程.

　　(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立?试写出你的猜想，并说明理由.

　　6.已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE.

　　(1)试猜想：与有何大小关系?并证明你的猜想;

　　(2)若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长;

　　(3)在(2)的条件下，若k为整数，且满足，求sin2∠A的值.

　　考前热身训练

　　1.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值.

　　2.圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，求AP的长.

　　3.如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x2-(m-2)x+(m+2)=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长.

　　4.如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，求AE的长.

　　5.如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长.

　　6.已知，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长.