2019年中考数学练习题：代数、三角、几何综合问题

　　概述：

　　代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题.

　　典型例题精析

　　例1.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2.

　　(1)当x=0时(如图)，S=________;当x=10时，S=___________;

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　　中考样题训练

　　1.已知抛物线y=-x2+(k+1)x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小.

　　(1)求k的值及抛物线的解析式;

　　(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线;

　　(3)求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标;

　　(4)设点G(0，m)是y轴上的动点.

　　①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线?并求出此时直线BG的解析式.

　　②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方?

　　2.如图，已知圆心A(0，3)，⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N.

　　(1)若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;

　　(2)若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：

　　①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明;

　　②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来;若不存在，说明理由.

　　3.如图，已知直线L与⊙O相交于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线L于点D.

　　(1)若AP=4，求线段PC的长;

　　(2)若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积.(答案要求保留根号)

　　考前热身训练

　　1.如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)，当∠MAN为以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x，ON=y(y>x≥0)，△AOM的面积为S，若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.

　　(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离;

　　(2)求证：AN2=ON·MN;

　　(3)求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围;

　　(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围.

　　2.如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)，且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C.

　　(1)求证：PC是⊙M的切线;

　　(2)在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点?若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由;

　　(3)画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切，且与直线PC相切于D，问将过A、C、B三点的抛物线平移后，能否同时经过P、D、A三点?为什么?