利息计算

　　利息计算有单利和复利之分。当计息周期在一个以上时，就需要考虑“单利”与“复利”的问题。复利是对单利而言，是以单利为基础来进行计算的。

　　(一)单利计算

　　所谓单利是指在计算利息时，仅用最初本金来加以计算，而不计入在先前利息周期中所累积增加的利息，即通常所说的“利不生利” 的计息方法。其计算式如下：

　　I t=P × I s

　　式中 I t ——第t计息期的利息;

　　P——本金;

　　I s——计息期单利利率。

　　设I n代表n个计息期所付或所收的单利总利息，则有下式：

　　I n=P·is·n

　　由上式可知，在以单利计息的情况下，总利息与本金、利率以及计息周期数成正比。而n期末单利本利和F等于本金加上利息，即：

　　F=P+In=P(1+n is)

　　式中(1+n is)称为单利终值系数。

　　(二)复利计算

　　1、复利的概念

　　在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前计息周期所累积利息总额之和来计算的，这种利息称为复利，也即通常所说的“利生利”、“利滚利”。其表达式如下：

　　I t=I× Ft-1

　　式中i——计息期复利利率;

　　Ft-1 ——表示第(t-1)年末复利本利和。

　　而第t年末复利本利和的表达式如下：

　　Ft=Ft-1 ×(1+i)

　　同一笔借款，在利率和计息期均相同的情况下，用复利计算出的利息金额数比用单利计算出的利息金额数大。如果本金越大、利率越高、年数越多，两者差距就越大。复利计息比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际状况。因此，在工程经济分析中，一般采用复利计算。

　　复利计算有间断复利和连续复利之分。按期(年、半年、季、月、周、日)计算复利的方法称为间断复利(即普通复利);按瞬时计算复利的方法称为连续复利。

　　2、一次支付的情形

　　一次支付又称整付，是指所分析系统的现金流量，无论是流入或是流出，均在一个时点上一次发生。

　　(1)终值计算(已知P求F)。现有一项资金P，按年利率i计算，n年以后的本利和F与本金P的关系为：

　　F=P(1+i)n

　　式中 i——计息期复利率;

　　n——计息的期数;

　　P——现值(即现在的资金价值或本金，Present Value)，指资金发生在(或折算为)某一特定时间序列起点的价值;

　　F——终值(n期末的资金值或本利和，Future Value)，指资金发生在(或折算为)某一特定时间序列终点的价值。

　　式中(l+i)n称为一次支付终值系数，用(F/P，i，n)表示。故上式又可写成：

　　F=P(F/P，i，n)

　　在(F/P ，i，n)这类符号中，括号内斜线左侧的符号表示所求的未知数，斜线右侧的符号表示已知数。整个(F/P，i，n)符号表示在已知i、n和P的情况下求解F的值。

　　例：某公司贷款1000万元，年复利率i=10%，试问5年后连本带利一次需支付多少?

　　解：按F=P(F/P，i，n)= 1000(F/P，10%，5)

　　从附录中查出系数(F/P，10%，5)为1.611，代入式中，即：F=1000 ×l.611=1611(万元)

　　(2)现值计算(已知F求P)。由终值公式即可求出现值P：

　　P= F(l+i)-n

　　式中：(l+i)-n称为一次支付现值系数，用符号(P/F，i，n) 表示。一次支付现值系数这个名称描述了它的功能，即未来一笔资金乘上该系数就可求出其现值。工程经济分析中，一般是将未来值折现到零期。计算现值P的过程叫“折现” 或“贴现”，其所使用的利率常称为折现率或贴现率。故(l+i)-n或(P/F，i，n)也可叫折现系数或贴现系数。上式常写成：

　　P=F(P/F，i，n)

　　例：某公司希望5年后有1000万元资金，年复利率i=10%，试问现在需一次存款多少?

　　解：由P=F(P/F，i，n)=1000(P/F，10%，5)，从附录中查出系数(P/F，10%，5)为 0.6209，代入式中：

　　P= 1000 × 0.6209=620.9(万元)

　　从上面计算可知，现值与终值的概念和计算方法正好相反，因为现值系数与终值系数是互为倒数。在P一定、n相同时，i越高，F越大;在i相同时，n越长，F越大。

　　3、等额支付系列情形

　　多次支付是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上。用A t表示第t期末发生的现金流量大小，如果多次现金流量A t是连续序列流量，且数额相等，则具有这种特征系列的现金流量称为等额系列现金流量。

　　A——年金，发生在(或折算为)某一特定时间序列各计息期末(不包括零期)的等额资金序列的价值。对于等额系列现金流量，其复利计算方法如下：

　　(1)终值计算(即已知A求 F)。

　　F=A[(1+i) n -1]/i

　　式中[(1+i) n -1]/i 称为等额系列终值系数或年金终值系数，用符号(F/A，i，n)表示。于是上式又可写成：

　　F=A(F/A，i，n)

　　例：若在 10年内，每年末存入银行 1000万元，年利率为 8%，问 10年后本利和为多少?

　　解：由F=A(F/A，i，n)=1000(F/A，8%，10)

　　从附录中查出(F/A，8%，10)为14.487，代入式中得：F=1000 × 14.487=14487(万元)

　　(2)现值计算(即已知A求P)。

　　P=A[(1+i) n -1]/[i(1+i) n]

　　式中：[(1+i) n -1]/[i(1+i) n]称为等额系列现值系数或年金现值系数，用符号(P/A，i，n)表示。于是上式又可写成：

　　P=A(P/A，i，n)

　　例：若希望在5年内每年收回1000万元，当利率为10%时，则开始需一次投资多少万元?

　　解：由P=A(P/A，i，n)=1000(P/A，10%，5)

　　从附录中查出系数(P/A，10%，5)为3.7908，代入上式得：P=1000×3.7908=3790.8(万元)

　　(3)资金回收计算(已知P求A)。

　　等额系列资金回收计算是等额系列现值计算的逆运算。

　　A=Pi(1+i) n /[(1+i) n -1]

　　式中：i(1+i) n /[(1+i) n -1]称为等额系列资金回收系数，用符号(A/P，i，n)表示。于是，上式又可写成：

　　A=P(A/P，i，n)

　　例：若投资1000万元，每年收回率为8%，在10年内收回全部本利，则每年应收回多少?

　　解：由A=P(A/P，i，n)=1000(A/P，8%，10)

　　从附录中查出系数(A/P，8%，10)为0.14903，代入上式得：

　　P=1000 × 0.14903=149.03(万元)

　　(4)偿债基金计算(已知F求A)。同样，偿债基金计算是等额系列终值计算的逆运算，故可得：

　　A=Fi/[(1+i) n -1]

　　式中：i/[(1+i) n -1]称为等额系列偿债基金系数，用符号(A/F，i，n )表示。则上式又可写成：

　　A=F(A/F，i，n)

　　例：若想在第5年年底获得1000万元，每年存款金额相等，年利率为 10%，则每年需存款多少?

　　解：由A=F(A/F，i，n)=1000(A/F，10%，5)

　　从附录中查出系数(A/F，10%，5)为0.1638，代入上式得：P=1000×0.1638=163.8(万元)

　　现将以上计算公式总结如下表：

　　在工程经济分析中，现值比终值使用更为广泛。因为用终值进行分析，会使人感到评价结论的可信度较低;而用现值概念很容易被决策者接受。因此，在工程经济分析时应当注意以下两点：

　　l)正确选取折现率。折现率是决定现值大小的一个重要因素，必须根据实际情况灵活选用。

　　2)注意现金流量的分布情况。从收益方面看，获得的时间越早、数额越大，其现值也越大。因此，应使建设项目早日投产，早日达到设计生产能力，早获收益，多获收益，才能达到最佳经济效益。从投资方面看，投资支出的时间越晚、数额越小，其现值也越小。因此，应合理分配各年投资额，在不影响项目正常实施的前提下，尽量减少建设初期投资额，加大建设后期投资比重。