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注册暖通工程师基础考试高等数学知识点(14)

来源 :中华考试网 2016-02-06

数量积的坐标表达式

设            a=axi+ayj+azk ,             b= bxi+byj+bzk

则            ab =(axi+ayj+azk)•( bxi+byj+bzk)= ax bx+ ayby+az bz

从而 cosθ= =

例1.            已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB.

解:作MA,MB, ∠AMBMAMB的夹角

Þ      MA=(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB=(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)

                MAMB=1´1+1´0+0´1=1;

|MA|= ;     |MB|=

cos∠AMB=        Þ    ∠AMB=π/3.

例2.            已知a,b,c,两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求s=a+b+c的长度与它和a,b,c的夹角.

解:   |s|=s s=(a+b+c)(a+b+c)

=aa+bb+cc+2ab+2bc+2ac

由于:       aa=|a|2=1,     bb=|b|2=4,     cc=|c|2=9;

ab=bc=ac=0

Þ    |s|2=14,           Þ           |s|=

cos(sa)= = = =1/ .

Þ       (s^a)=arcos(1/ );

同理:       (s^b)= (s^c) =accos(1/ )

例3.            设a,b,c为单位向量,且满足a+b+c=0,求ab+bc+ca.

解: (a+b+c)• a=a2+ba+ca=1+ab+ca;

(a+b+c)• b=ab+b2+cb=1+ab+bc;

(a+b+c)• c=ac+bc+c2=1+ca+bc;

三式相加:

Þ 3+2[ab+bc+ca]= (a+b+c)• (a+b+c)=0

Þ ab+bc+ca=-3/2.

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