计算题51分练(5)

　　1.(15分)某电视台闯关竞技节目的第一关是雪滑梯，其结构可以简化为下图模型。雪滑梯顶点距地面高h=15 ml=25 m，在水平部分距离斜道底端为x0=20 m处有一海绵坑。比赛时参赛运动员乘坐一质量为M的雪轮胎从赛道顶端滑下，在水平雪道上翻离雪轮胎滑向海绵坑，运动员停在距离海绵坑1 m范围内算过关。已知雪轮胎与雪道间的动摩擦因数μ1=0.3，运动员与雪道间的动摩擦因数μ2=0.8，假设运动员离开雪轮胎的时间不计，运动员落到雪道上时的水平速度不变。求质量为m的运动员(可视为质点)在水平雪道上的什么区域离开雪轮胎才能闯关成功。

　　图1

　　解析　设运动员乘坐轮胎沿斜滑梯滑动时的加速度为a0，滑到底端时的速度大小为v，有

　　(M+m)gsin θ-μ1(M+m)gcos θ=(M+m)a0(2分)

　　v2=2a0l，(1分)

　　解得：v=6m/s。(2分)

　　在水平轨道上运动a1，翻下后加速度为a2，由牛顿第二定律得：

　　μ1(M+m)g=(M+m)a1，μ2mg=ma2，(3分)

　　设在距离海绵坑x1处翻下时刚好滑到海绵坑边停下，翻下时速度为v1，则有：

　　v2-v=2a1(x0-x1)，v=2a2x1，(2分)

　　联立解得x1=6 m。(1分)

　　设在距离海绵坑x2处翻下时刚好滑到距离海绵坑边1 m处停下，翻下时速度为v2，则有：

　　v2-v=2a1(x0-x2)，v=2a2(x2-1)，(2分)

　　联立解得x2=7.6 m，(1分)

　　故选手应该在距离海绵坑7.6 m～6 m之间的区域离开雪轮胎，才能闯关成功。(1分)

　　答案　见解析

　　2.(17分)(2015·河北五校联考)如图2所示，有3块水平放置的长薄金属板a、b和c，a、b之间相距为L。紧贴b板下表面竖直放置半径为R的半圆形塑料细管，两管口正好位于小孔M、N处。板a与b、b与c之间b与c间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。当体积为V0、密度为ρ、电荷量为q的带负电油滴，等间隔地以速率v0从a板上的小孔竖直向下射入，调节板间电压Uba和Ubc，当Uba=U1、Ubc=U2时，油滴穿过b板M孔进入细管，恰能与细管无接触地从N孔射出。忽略小孔和细管对电场的影响，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

　　图2

　　(1)油滴进入M孔时的速度v1;

　　(2)b、c两板间的电场强度E和磁感应强度B的值;

　　(3)当油滴从细管的N孔射出Uba和B立即调整到Uba′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路与细管无接触地返回穿过M孔，请给出Uba′和B′的结果。

　　解析　(1)油滴进入电场后，重力与电场力均做功，设到M点时的速度为v1，由动能定理得

　　mv-mv=mgL+qU1(2分)

　　考虑到m=ρV0(1分)

　　得v1=(2分)

　　(2)油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，须电场力与重力平衡，有mg=qE(2分)

　　得E=(1分)

　　油滴在半圆形细管中运动时，洛伦兹力提供向心力，有

　　qv1B=(2分)

　　得B==(2分)

　　(3)若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点，由动能定理得

　　0-mv=-mgL-qUba′(2分)

　　得Uba′=U1(1分)

　　考虑到油滴返回时速度方向已经相反，为了使油滴沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，磁感应强度的大小不变，方向相反，即：B′=-B。(2分)

　　答案　(1) 　(2)　 (3)U1+-B

　　3.(19分)如图3所示，在xOy平面坐标系中，直线MN与y轴成30°角，M点的坐标为(0，a)，在y轴与直线MN之间的区域内，存在垂直xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。电子束以相同速度v0从y轴上-a≤y≤0的区间垂直于y轴和磁场射入磁场。已知从O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹恰好与直线MN相切，忽略电子间的相互作用和电子的重力。

　　(1)求电子的比荷;

　　(2)若在xOy坐标系的第Ⅰ象限y>0区域内加上沿y轴正方向大小为E=Bv0的匀强电场，在x0=a处垂直于x轴放置一荧光屏，计算说明荧光屏上发光区的形状和范围。

　　解析　(1)从O点射入

　　r+=a①(1分)

　　解得：r=②(1分)

　　电子在磁场中运动时，洛伦兹力等于向心力，即

　　eBv0=m③(2分)

　　联立解得电子比荷=④(2分)

　　(2)由电子的轨道半径可判断，在O点射入磁场的电子从(0，a)的位置进入匀强电场，电子进入电场后做类平抛运动，有2r=t2⑤(2分)

　　x=v0t⑥(1分)

　　将E=Bv0代入，联立解得：x=a⑦(2分)

　　设该x轴时速度与x轴正方向成θ角，则

　　vy=t⑧(2分)

　　tan θ=⑨(1分)

　　解得：tan θ=2⑩(1分)

　　设该电子打在荧光屏上的Q点，Q点离x轴的距离为L，则

　　L=(x0-x)tan θ=a(2分)

　　x轴的最远距离为L=a

　　而从(0，-a)位置进入磁场的电子恰好由O点过y轴，不受电场力，沿x轴正方向做匀速直线运动，打在荧光屏与x轴相交的点上，所以荧光屏上在y坐标分别为0、-a的范围内出现一条长亮线(2分)

　　答案　(1)　(2)在y坐标分别为0、-a的范围内出现一条长亮线