1.对于四面体ABCD，下列命题正确的是________.

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点;

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合;

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点;③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合.答案：①④⑤

2.下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

其中，真命题的编号是______.(写出所有真命题的编号)

解析：对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，故棱锥为正三棱锥.所以为真命题.对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题.对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题.对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题.综上，①④为真命题.答案：①④

3.关于如图所示几何体的正确说法为________.

①这是一个六面体　②这是一个四棱台

③这是一个四棱柱　④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体

⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱

答案：①②③④⑤

4.对于四面体ABCD，下列命题正确的是________.

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点;

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合;

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点;③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合.答案：①④⑤

5.给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.其中说法正确的是__________.

解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱;命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥;命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形.故填③.

答案：③

6.下列结论正确的是

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：①错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.

②错误.如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.

④正确.答案：④

7.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________.

解析：设截面的圆心为O′，由题意得：∠OAO′=60°，O′A=1，S=π·12=π.答案：π

8.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________.

①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确;②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立;③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确;④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确.故选②.答案：②

9.(2008年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2))

有下列四个命题：

A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.

其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号).

解析：设正四棱柱底面边长为b，高为h1，正四棱锥高为h2，则原题图(1)中水的体积为b2h2-3(1)b2h2=3(2)b2h2，

图(2)中水的体积为b2h1-b2h2=b2(h1-h2)，

所以3(2)b2h2=b2(h1-h2)，所以h1=3(5)h2，故A错误，D正确.

对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确.对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为36(25)b2h2>3(2)b2h2，矛盾，故C不正确.答案：BD

10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1∶h2∶h3的值.

解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a，h2=h3，h1= 2(2)=2(2)a，h2= 2(3)=3(6)a，

故h1∶h2∶h3=∶2∶2.

11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长.

解：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE=EF=2(2)x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，

则EG==-4(x2)，FI==-4(x2)，FH=FI+HI=FI+EG=2-4(x2)，在Rt△DHF中，DF2=DH2+FH2，即x2=4+(2-4(x2))2，解得x=2.即该三角形的斜边长为2.

12.(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值.

解：设地球的半径为R，那么对应的赤道线的大圆的半径为R，而对应的北纬60°纬线所在的小圆的半径为2(1)R，那么它们对应的长度之比为2(1)R∶R=2(1).

即所求比值为2(1).