1.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________. 解析：设事件M为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)=3(2).答案：3(2)

 

 

 

2.已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________.

解析：设所求的面积为S，由题意得1000(600)=5×12(S)，∴S=36.答案：36

3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________.

解析：P=a3(πa3)=6(π).答案：6(π)

4.已知集合A{x|-10}，在集合A中任取一个元素x ，则事件“x∈A∩B”的概率是________.

解析：由题意得A={x|-1

 

 

 

 

5.某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________.

答案：5(2)

6.如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过R的概率是________.

 

 

 

 

解析：连结圆心O与M点，作弦MN使∠MON=90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN>R，此时∠N1ON2=180°，故所求的概率为360°(180°)=2(1).

答案：2(1)

7.已知Ω={(x，y)|x+y≤6，x≥0，y≥0}，E={(x，y)|x-2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为________.

 

 

 

 

解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为△COD边界及其内部的部分，所以点P落入区域E的概率为S△AOB(S△COD)=×6×6(1)=9(2).答案：9(2)

 

 

 

 

8.已知函数f(x)=-x2+ax-b.若a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是________.

解析：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1，如图：

A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC=2(9)，P=S矩(S△ABC)=2()=32(9).答案：32(9)

9.在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)=2(1)x3+ax-b在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为________.

解析：f′(x)=2(3)x2+a，故f(x)在x∈[-1,1]上单调递增，又因为函数f(x)=2(1)x3+ax-b在[-1,1]上有且仅有一个零点，即有f(-1)·f(1)<0成立，即(-2(1)-a-b)(2(1)+a-b)<0，则(2(1)+a+b)(2(1)+a-b)>0，可化为+a+b>0(1)或+a+b<0(1)由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)=2(1)x3+ax-b在[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a=0，a=1，b=0，b=1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为8(7).答案：8(7)

10.设不等式组0≤y≤6(0≤x≤6)表示区域为A，不等式组x-y≥0(0≤x≤6)表示的区域为B.

(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率;

(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率.

解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1=36，区域B的面积为S2=18，∴P(M)=S1(S2)=36(18)=2(1).

(2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为36个，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N)=36(21)=12(7).

11.(2010年江苏南通模拟)已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.

(1)若a，b∈N ，求A∩B≠∅的概率;(2)若a，b∈R ，求A∩B=∅的概率.

解：(1)因为a，b∈N ，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组.

令函数f(x)=ax+b·2x-1，x∈[-1,0]，则f′(x)=a+bln2·2x.

因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)>0，即f(x)在[-1,0]上是单调递增函数.

f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+2(b)-1.要使A∩B≠∅，只需-a+2(b)-1<0，

即2a-b+2>0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组.

所以A∩B≠∅的概率为9(7).

(2)因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，

所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.

由(1)可知，要使A∩B=∅，

只需f(x)min=-a+2(b)-1≥0⇒2a-b+2≤0，所以满足A∩B=∅的(a，b)对应的区域是如图阴影部分.

所以S阴影=2(1)×1×2(1)=4(1)，所以A∩B=∅的概率为P=4()=16(1).

12.将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(3(1)≤a≤1)的概率.

解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，

第三段的长度为1-x-y，

则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={(x，y)|0

事件“三段的长度都不超过a(3(1)≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为A={(x，y)|(x，y)∈Ω，x　　即图中六边形区域，此区域面积：当3(1)≤a≤2(1)时，为(3a-1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(3(1)≤a≤1)”的概率为P=1/2(3a-12/2)=(3a-1)2;

当2(1)≤a≤1时，为2(1)-2(1-a2).此时事件“三段的长度都不超过a(3(1)≤a≤1)”的概率为P=1-3(1-a)2.