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2017高考数学江苏(理)考前抢分必做训练(五)

来源 :中华考试网 2017-03-02

11.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且x∈[0,]时f(x)=-x2,则f(3)+f(-)的值等于________.

答案 -

解析 由于y=f(x)为奇函数,根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),

可得f(-t)=f(1+t),

所以函数y=f(x)的一个周期为2,

故f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,

f(-)=f()=-,

∴f(3)+f(-)=-.

12.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b的值为________.

答案 -7

解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+b,

由已知可得

解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,

经验证,a=4,b=-11符合题意,

故a+b=-7.

13.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+,存在实数x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t的取值范围.

解 (1)∵函数的定义域为R,f′(x)=-,

∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,

∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,

在(0,+∞)上单调递减.

(2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,

则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.

∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=,

∴φ′(x)==-.

①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,

∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1;

②当t≤0时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增,

∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;

③当00,φ(x)在(t,1)上单调递增,

∴2φ(t)

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