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2016年湖南高考数学备考:专项练习及答案(7)

来源 :中华考试网 2016-01-28

  一、非标准

  1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围。

  2.(2014江西,文15改编)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求x+y的取值范围。

  3.若对任意的aR,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,求实数x的取值范围。

  4.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围。

  5.已知x,y,zR+,且x+y+z=1,求的最小值。

  6.(2014江苏,21)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy。

  7.已知a, b,cR,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值。

  8.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,求实数a的取值范围。

  9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|。

  (1)当a=-1时,解关于x的不等式f(x)>5;

  (2)已知关于x的不等式f(x)+a<2014(a是常数)的解集是非空集合,求实数a的取值范围。

  10.(2014河南郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|。

  (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

  (2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。

  参考答案

  1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,

  即(a+1)≤0,解得a。

  2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x≤1时取等号,

  |y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y≤1时取等号,

  |x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2。①

  又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②

  ∴只有当0≤x≤1,0≤y≤1时,两式同时成立。

  0≤x+y≤2。

  3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,

  得|x|+|x-1|≥2。

  当x<0时,-x+1-x≥2,x≤-。

  当0≤x≤1时,x+1-x≥2,无解。

  当x>1时,x+x-1≥2,x≥。

  综上,x≤-或x≥。

  4.解:函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,

  即|x-2|+|x+3|>m恒成立。

  因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范围是(-∞,5)。

  5.解法一:由于(x+y+z)≥36。

  所以≥36,最小值为36。

  当且仅当x2=y2=z2,

  即x=,y=,z=时,等号成立。

  解法二:

  =(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)

  =14+≥14+4+6+12=36。最小值为36。

  当且仅当y=2x,z=3x,即x=,y=,z=时,等号成立。

  6.证明:因为x>0,y>0,

  所以1+x+y2≥3>0,

  1+x2+y≥3>0,

  故(1+x+y2)(1+x2+y)

  ≥3·3=9xy。

  7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),

  ∴a2+4b2+9c2

  ≥(a+2b+3c)2=12。

  ∴a2+4b2+9c2的最小值为12。

  解法二:由柯西不等式,

  得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)

  ≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,

  故a2+4b2+9c2≥12,

  从而a2+4b2+9c2的最小值为12。

  8.解:利用绝对值不等式的性质求解。

  |x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,

  要使|x-a|+|x-1|≤3有解,

  可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,

  ∴-2≤a≤4。

  9.解:(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5,则g(x)=

  令g(x)>0,则x<-1或x>4,

  原不等式的解集为(-∞,-1)(4,+∞)。

  (2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,

  又关于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,

  |a+2|+a<2014,解得a<1006。

  10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,

  解得a-3≤x≤a+3。

  又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},

  所以解得a=2。

  (2)当a=2时,f(x)=|x-2|,

  设g(x)=f(x)+f(x+5),

  于是g(x)=|x-2|+|x+3|

  所以当x<-3时,g(x)>5;

  当-3≤x≤2时,g(x)=5;

  当x>2时,g(x)>5。

  综上可得,g(x)的最小值为5。

  从而若f(x)+f(x+5)≥m,

  即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5]。

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