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2017年海南高考数学基础训练试题(十二)

来源 :中华考试网 2017-03-28

一、选择题(本大题共10小题,每小5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知an=,设am为数列{an}的最大项,则m=(  )

A.7    B.8    C.9    D.10

解析:作出函数an=1+,nN*的图象可得a8是数列{an}的最大项,故m=8.

答案:B

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an,则数列{an}的通项公式为an=(  )

A.(n+1)3 B.(2n+1)2

C.8n2 D.(2n+1)2-1

解析:当n=1时,4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1,解得a1=8,当n≥2时,由4(Sn+1)=,得4(Sn-1+1)=,两式相减得,4an=-,即=,所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3,经验证n=1时也符合,所以an=(n+1)3.

答案:A

3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=+,数列{an}满足an=f2(n)-f(n),若其前m(mN*)项和为-,则m的值为(  )

A.16 B.17 C.18 D.19

解析:由题意[f(x+1)-]2=f(x)-f2(x),即f2(x+1)-f(x+1)+=f(x)-f2(x),所以-≤f2(n)-f(n)=an≤0,所以an+1+=-an,即an+1+an=-.若m为偶数,则其前m项和为-×=-,解得m=N*,所以m不可能是偶数,排除A、C;若m=17,则a17=S17-S16=-+×8=-,符合题意;若m=19,则a19=S19-S18=-+×9=>0,不符合题意,故排除D,选择B.

答案:B

4.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3·a5,则a7=(  )

A.4 B. C.8 D.

解析:由等比数列的性质可得a=a3·a5,又a4=a3·a5,所以a=a4,解得a4=1(a4=0舍去),又a1=8,所以8q3=1,得到q=,所以a7=8×6=,选D.

答案:D

5.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*),其前n项和Sn=,则双曲线-=1的渐近线方程为(  )

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

解析:an==-,则Sn=1-+-+-+…+-=1-,由Sn==1-,可得n=9,则双曲线方程为-=1,其渐近线方程为y=±x=±x=±x,选C.

答案:C

6.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=6,则S5=(  )

A.5 B.7 C.10 D.15

解析:由a1+a3+a5=6可得3a3=6,故a3=2,S5===5a3=10,选C.

答案:C

7.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足a=2Sn+n+4,且a2-1,a3,a7恰好构成等比数列的前三项,则a1=(  )

A. B.1 C.2 D.4

解析:因为a=2Sn+n+4,所以a=2Sn-1+n-1+4(n≥2),两式相减得a-a=2an+1,所以a=a+2an+1=(an+1)2,故an+1-an=1,又a=(a2-1)a7,所以(a2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得a2=3,又a=2a1+1+4,得到a1=2,选C.

答案:C

8.已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f,nN*,则数列{an}的通项公式为(  )

A.an=n+ B.an=n-

C.an=n+ D.an=n+

解析:依题意可得an+1=,则有an+1=an+,故数列{an}是以1为首项,为公差的等差数列,则an=1+(n-1)×=n+,故选A.

答案:A

9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a3=8a2,且a1与a2的等差中项为12,则S5的值为(  )

A.496 B.33 C.31 D.

解析:由等比数列的性质可得a1a3=a,又a1a3=8a2,故a=8a2,解得a2=8(a2=0舍去),因为a1与a2的等差中项为12,所以a1+a2=24,故a1=16,所以公比q=,故S5===31,故选C.

答案:C

10.已知an=sin,Sn=a1+a2+…+an,nN*,则在S1,S2,…,S2016中,值为正数的个数为(  )

A.2 016 B.2 015

C.1 003 D.1 008

解析:依题意知,a1≥0,a2≥0,…,a50≥0,a51≤0,a52≤0,…,a100≤0,考虑到y=的递减性及正弦函数的周期性,有a1+a51>0,a2+a52>0,…,故S1,S2,…,S100均为正数,以此类推,可知S1,S2,…,S2016均为正数,故选A.

答案:A

二、填空题(本大题共5小题,每小5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)

11.已知在数列{an}中,a1=1,a2=0,若对任意的正整数n,m(n>m),有a-a=an-man+m,则a2 015=________.

解析:令n=2,m=1,则a-a=a1a3,得a3=-1;令n=3,m=2,则a-a=a1a5,得a5=1;令n=5,m=2,则a-a=a3a7,得a7=-1,所以猜想当n为奇数时,{an}为1,-1,1,-1,…,所以a2 015=-1.

答案:-1

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则·的最大值为________.

解析:设等差数列{an}的公差为d,则a2+a4+a9=3a1+12d=24,即a1+4d=8,所以==a1+d=8-4d+d,则=8-4d+d=8-,=8-4d+d=8+,·==64-≤64,当且仅当d=0时取等号,所以·的最大值为64.

答案:64

13.设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,若a4,a3,a5成等差数列,则=________.

解析:若a4,a3,a5成等差数列,则有2a3=a4+a5,即2a1q2=a1q3+a1q4,因为q≠1,a1≠0,所以2=q+q2,解得q=-2,则==1+q2=1+(-2)2=5.

答案:5

14.已知数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(nN*),若b3=-2,b10=12,则a8=________.

解析:因为{bn}为等差数列,b3=-2,b10=12,故b10=-2+7d=12,解得d=2,b3=b1+2×2=-2,解得b1=-6,故bn=-6+(n-1)×2=2n-8,所以an+1-an=2n-8,an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(2×1-8)+(2×2-8)+…+[2×(n-1)-8]=n(n-1)-8(n-1)=n2-9n+8(n≥2),所以an=n2-9n+8+3=n2-9n+11,故a8=82-9×8+11=3.

答案:3

15.已知数列{an}为等差数列,且各项均不为0,Tn为前n项和,T2n-1=a,nN*,若不等式+1≥对任意的正整数n恒成立,则t的取值范围为__________________.

解析:因为an=a1+(n-1)d,Tn=na1+d,所以T2n-1=(2n-1)a1+d=(2n-1)[a1+(n-1)d]=(2n-1)an,又T2n-1=a,所以(2n-1)an=a,又an≠0,故an=2n-1,因为+1≥对任意的正整数n恒成立,即+1≥.当n为偶数时,有(2n+1)≥-t对任意的正整数n恒成立,则由(2n+1)≥-t可得+2n+9≥-t,设f(x)=+2x,f′(x)=2-,当且仅当x=时 ,f(x)取得最小值,所以当n=1或2时,+2n+9取得最小值,即15≥-t,所以t≥-15;当n为奇数时, 有(2n+1)≥t对任意的正整数n恒成立,则由(2n+1)≥t可得2n--7≥t,设g(x)=2x-,g′(x)=+2>0,所以当n=1时,2n--7取得最小值,即t≤-9.综上可得-15≤t≤-9.

答案:-15≤t≤-9

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