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2017年甘肃高考数学基础提升训练(三)

来源 :中华考试网 2016-11-10

2017年甘肃高考数学基础提升训练(三)

 

 

【例1 把函数ysin2x的图象按向量a()(p,-3)平移后,得到函数yAsin(ωxj)(A0ω0|j|p)的图象,则jB的值依次为     

 

Ap,-3 Bp3 Cp,-3 D.-p3

 

【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 ( )¢p¢y=y+3(6),再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择.

 

【解析1 由平移向量知向量平移公式 ( )¢p¢y=y-3(6),即 ( )¢p¢y=y+3(6),代入ysin2xy¢3sin2(x¢p),即到ysin(2x3(π))3,由此知jpB=-3故选C.

 

【解析2 由向量a()(p,-3),知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移p个单位,再向下平移3个单位,由此可得函数的图象为ysin2(xp)3,即ysin(2x3(π))

 

3,由此知jpB=-3故选C.

 

【例2】 已知ABC为三个锐角,且ABCπ.向量p()(22sinAcosAsinA)与向量q()(cosAsinA1sinA)是共线向量.

 

)求角A

 

)求函数y2sin2Bcos2(C-3B)的最大值.

 

【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值,再根据角的范围即可解决第()小题;而第()小题根据第()小题的结果及ABC三个角

 

的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.

 

【解】 (p()q()共线,(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA),则sin2A4(3)

 

A为锐角,所以sinA2(3),则Ap.

 

y2sin2Bcos2(C-3B)2sin2Bcosp2(3-B-3B)

 

2sin2Bcos(p2B)1cos2B2(1)cos2B2(3)sin2B

 

2(3)sin2B2(1)cos2B1sin(2Bp)1.

 

B(0p)2Bp(pp6(5))2Bpp,解得Bpymax2.

 

【例3 已知向量a()(3sinα,cosα)b()(2sinα5sinα4cosα)α(p2(3)2π),且a()b()

 

)求tanα的值;

 

)求cos(2(α)p)的值.

 

【解】 a()b()a()·b()0.而a()=(3sinαcosα),b()(2sinα, 5sinα4cosα)

 

a()·b()6sin2α5sinαcosα4cos2α0 

 

由于cosα≠06tan2α5tanα40.解之,得tanα=-3(4),或tanα2(1)

 

αp2(3)),tanα0,故tanα2(1)(舍去).tanα=-3(4)

 

 

αp2(3)),2(α)p4(3)π).

 

tanα=-3(4),求得tan2(α)=-2(1)tan2(α)2(舍去).sin2(α)5(5)cos2(α)=-5(5)

 

 

cos(2(α)p)cos2(α)cospsin2(α)sinp=-5(5)×2(1)5(5)×2(3)=-10(15)

 

【例3 已知向量a()(cosα,sinα)b()(cosβ,sinβ)|a()b()|5(2).()cos(αβ)的值;()若-pβ0αp,且sinβ=-13(5),求sinα的值.

 

 

【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题;而第()小题则可变角α(αβ)β,然后就须求sin(αβ)cosβ即可.

 

【解】 ()|a()b()|5(2)a()22a()·b()b()25(4)

 

将向量a()(cosα,sinα)b()(cosβ,sinβ)代入上式得

 

122(cosαcosβsinαsinβ)125(4)cos(αβ)=-5(3).

 

()pβ0αp0αβπ

 

cos(αβ)=-5(3)sin(αβ)5(4)

 

sinβ=-13(5)cosβ13(12)

 

sinαsinβ)β]=sin(αβ)cosβcos(αβ)sinβ65(33).

 

【例5 设函数f(x)a()·b().其中向量a()(mcosx)b()(1sinx1)xR,且f(p)2.)求实数m的值;()求函数f(x)的最小值.

 

解:f(x)a()·b()m(1sinx)cosx

 

f(p)2,得m(1sinp)cosp2,解得m1.

 

()由()得f(x)sinxcosx1sin(xp)1

 

sin(xp)=-1时,f(x)的最小值为1.

 

【例6 已知角ABCABC的三个内角,其对边分别为abc,若m()(cos2(A)sin2(A))n()(cos2(A)sin2(A))a2,且m()·n()2(1)

 

)若ABC的面积S,求bc的值.

 

)求bc的取值范围.

 

【解】 (m()(cos2(A)sin2(A))n()(cos2(A)sin2(A)),且m()·n()2(1)

 

cos22(A)sin22(A)2(1),即-cosA2(1)

 

A(0π)Ap3(2).

 

又由SABC2(1)bcsinA,所以bc4

 

由余弦定理得:a2b2c22bc·cosp3(2)b2c2bc16(bc)2,故bc4.

 

)由正弦定理得:sinB(b)sinC(c)sinA(a)p3(2)3(2)4,又BCpAp

 

bc4sinB4sinC4sinB4sin(pB)4sin(Bp)

 

0Bp,则pBpp3(2),则2(3)sin(Bp)≤1,即bc的取值范围是(24].

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