2017年全国高考数学综合提升训练(一)
来源 :中华考试网 2016-11-10
中2017年全国高考数学综合提升训练(一)
【例1】 (08·安徽高考)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张
卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ)
现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测
试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,
拼音都带有后鼻音“g”的概率。(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,
求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.
【解】 (Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有
后鼻音“g”的概率为10,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,
因而所求的概率为10×10×10=1000.
(Ⅱ)设Ai(i=1,2,3)表示所抽取的三张卡片中,恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件,
且其相应的概率为P(Ai),则P(A2)=731010=40,P(A3)=31010=120,
因而所求概率为P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=40+120=60.
【例
2】(08·福建高考)三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分
别为5,4,3,且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率;(Ⅱ)“密
码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.
【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i=1,2,3),依题意有
P(A1)=5,P(A2)=4,P(A3)=3,且A1,A2,A3相互独立.
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有
B=A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3,且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3彼此互斥
于是P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=5×4×3+5×4×3+5×4×3=20.
答:恰好二人破译出密码的概率为20.
(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件D.
D=A1·A2·A3,且A1、A2、A3相互独立,则P(D)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=5×4×3=5.
而P(C)=1-P(D)=5,故P(C)>P(D).
答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
【例3】 (08·重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确
的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:(Ⅰ)恰有两道题答
对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率.
【解】 “选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选
择正确”这一事件发生的概率为4.由独立重复试验的概率计算公式得:
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为P4(2)=C4(4)2(4)2=128.
(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为1-P4(0)=1-C4(4)0(4)4=1-256=256.
解法二:至少有一道题答对的概率为分为4类情形:
P4(1)=C4(4)1(4)3=256,P4(2)=C4(4)2(4)2=128,P4(3)=C4(4)3(4)1=256,P4(4)=C4(4)4(4)0=256.
所以至少答对一道的概率为P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=256+256+256+256=256.
【例4】 (08·湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号
的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列,期
望和方差;(Ⅱ)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
【解】 (Ⅰ)ξ的分布列为:
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
2 |
20 |
10 |
20 |
5 |
∴Eξ=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5.
Dξ=(0-1.5)2×2+(1-1.5)2×20+(2-1.5)2×10+(3-1.5)2×20+(4-1.5)2×5=2.75.
(Ⅱ)由Dη=a2Dξ,Eη=aEξ+b,得 1.5a+b=1,解得 b=-2或 b=4.
【例5】 (08全国Ⅱ高考)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a
元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年
度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年
度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999 .(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概
率p;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期
望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【解】 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,
记投保的10000人中出险的人数为ξ,则ξ~B(104,p).
(Ⅰ)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则A发生当且仅当ξ=0,
P(A)=1-P(A)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)
又P(A)=1-0.999 ,故p=0.001.
(Ⅱ)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.
支出 10000ξ+50000,
盈利 η=10000a-(10000ξ+50000),
盈利的期望为 Eη=10000a-10000Eξ-50000,
由ξ~B(104,10-3)知,Eξ=104×10-3,
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.
Eη≥0Û104a-104×104×10-3-5×104≥0Ûa≥15(元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
【例6】 (08·江西高考)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出
两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑桔
产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑
桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计当年
可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年
可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案,第
二年与第一年相互独立。令ξi(i=1,2)表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的
倍数.(Ⅰ)写出ξ1、ξ2的分布列;(Ⅱ)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量
的概率更大?(Ⅲ)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可
带来效益10万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益15万元;柑桔
产量超过灾前产量,预计可带来效益20万元;问实施哪种方案所带来的平均效益更大?
【解】(Ⅰ)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25,ξ2的所有取值为0.8、0.96、
1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2的分布列分别为:
ξ1 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
1.125 |
1.25 |
P |
0.2 |
0.15 |
0.35 |
0.15 |
0.15 |
ξ2 |
0.8 |
0.96 |
1.0 |
1.2 |
1.44 |
P |
0.3 |
0.2 |
0.18 |
0.24 |
0.08 |
(Ⅱ)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,
P(A)=0.15+0.15=0.3,P(B)=0.24+0.08=0.32,
可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.
(Ⅲ)令η1表示方案所带来的效益,则
η1 |
10 |
15 |
20 | |
P |
0.35 |
0.35 |
0.3 | |
η2 |
10 |
15 |
20 |
|
P |
0.5 |
0.18 |
0.32 |
所以Eη1=10×0.35+15×0.35+20×0.3=14.75,
Eη2=10×0.35+15×0.18+20×0.32=14.75,
【例7】 (08·陕西)某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情
况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( )
A.30 B.25 C.20 D.15
【解】 设样本中松树苗的数量为,则30000=4000,解得x=20.
【例8】 (08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,
随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55],[55,65],
[65,75],[75,85],[85,95),由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天
生产该产品数量在[55,75),的人数是________.
【解】 20×(0.040×10+0.025×10)=13.
点评:解答此类问题主要有三条途径:①利用所有分组对应的频率之和为1;②利用公
式:频率=条形图的面积=纵坐标×横坐标,或利用公式频数=样本容量×频率;③利用
频率分布图中相关数据;④利用频率分布表绘制频率分布直方图.