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2017年全国高考数学综合提升训练(一)

来源 :中华考试网 2016-11-10

2017年全国高考数学综合提升训练(一)

【例1】 (08·安徽高考)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10

 

卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.

 

现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测

 

试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,

 

拼音都带有后鼻音“g”的概率。()若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,

 

求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.

 

【解】 (Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有

 

后鼻音“g”的概率为10(3),因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,

 

因而所求的概率为10(3)×10(3)×10(3)1000(27).

(Ⅱ)设Ai(i123)表示所抽取的三张卡片中,恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件,

 

且其相应的概率为P(Ai),则P(A2)7(1)3(2)10(3)10(3)40(7)P(A3)3(3)10(3)10(3)120(1)

 

因而所求概率为P(A2A3)P(A2)P(A3)40(7)120(1)60(11).

【例

2】(08·福建高考)三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分

 

别为5(1)4(1)3(1),且他们是否破译出密码互不影响。()求恰有二人破译出密码的概率;()“

 

码被破译密码未被破译的概率哪个大?说明理由.

 

【解】i个人破译出密码为事件Ai(i123),依题意有

 

P(A1)5(1)P(A2)4(1)P(A3)3(1),且A1A2A3相互独立.

 

()恰好二人破译出密码为事件B,则有

 

BA1A2A3()A1A2()A3A1()A2A3A1A2A3()A1A2()A3A1()A2A3彼此互斥

 

于是P(B)P(A1A2A3())P(A1A2()A3)P(A1()A2A3)5(1)×4(1)×3(2)5(1)×4(3)×3(1)5(4)×4(1)×3(1)20(3).

 

答:恰好二人破译出密码的概率为20(3).

()密码被破译为事件C密码未被破译为事件D.

 

DA1()·A2()·A3(),且A1()A2()A3()相互独立,则P(D)P(A1())·P(A2())·P(A3())5(4)×4(3)×3(2)5(2).

 

P(C)1P(D)5(3),故P(C)P(D).

 

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

 

【例3 08·重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确

 

.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:()恰有两道题答

 

对的概率;()至少答对一道题的概率.

 

【解】 选择每道题的答案为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中

 

择正确这一事件发生的概率为4(1).由独立重复试验的概率计算公式得:

 

(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为P4(2)C4(2)(4(1))2(4(3))2128(27).

 

(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为1P4(0)1C4(0)(4(1))0(4(3))41256(81)256(175).

 

解法二:至少有一道题答对的概率为分为4类情形:

 

P4(1)C4(1)(4(1))1(4(3))3256(108)P4(2)C4(2)(4(1))2(4(3))2128(27)P4(3)C4(3)(4(1))3(4(3))1256(12)P4(4)C4(4)(4(1))4(4(3))0256(1).

 

所以至少答对一道的概率为P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)256(108)256(54)256(12)256(1)256(175).

 

【例4 (08·湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n

 

的有n(n1234).现从袋中任取一球表示所取球的标号.()ξ的分布列,期

 

望和方差;()ηb111,试求ab的值.

 

 

【解】 ξ的分布列为:

 

ξ

0

1

2

3

4

P

2(1)

20(1)

10(1)

20(3)

5(1)

2(1)20(1)10(1)20(3)5(1)1.5.

(01.5)2×2(1)(11.5)2×20(1)(21.5)2×10(1)(31.5)2×20(3)(41.5)2×5(1)2.75.

 

)由a2aEξb,得 ( )1.5a+b=1(a2×2.75=11),解得 ( )b=-2(a=2) ( )b=4(a=-2).

 

【例5 08全国高考)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a

 

元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年

 

度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年

 

度内至少支付赔偿金10000元的概率为10.999 (104).()求一投保人在一年度内出险的概

 

p()设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期

 

望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

 

【解】 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p

 

记投保的10000人中出险的人数为ξ,则ξB(104p)

 

)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则A()发生当且仅当ξ0

 

P(A)1P(A())1P(ξ0)1(1p) (104)

 

P(A)10.999 (104),故p0.001

 

)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.

 

支出          10000ξ50000

 

盈利          η10000a(10000ξ50000)

 

盈利的期望为  Eη10000a10000Eξ50000

ξB(10410-3)知,104×10-3

 

104a1045×104104a104×104×10-35×104.

 

Eη≥0Û104a104×104×10-35×104≥0Ûa≥15().

 

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

 

【例6 08·江西高考)因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出

 

两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑桔

 

产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.30.30.4;第二年可以使柑

 

桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.50.5.若实施方案二,预计当年

 

可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.20.30.5;第二年

 

可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.40.6.实施每种方案,第

 

二年与第一年相互独立。令ξi(i12)表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的

 

倍数.()写出ξ1ξ2的分布列;()实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量

 

的概率更大?()不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可

 

带来效益10万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益15万元;柑桔

 

产量超过灾前产量,预计可带来效益20万元;问实施哪种方案所带来的平均效益更大?

 

【解】ξ1的所有取值为0.80.91.01.1251.25ξ2的所有取值为0.80.96

1.01.21.44.ξ1ξ2的分布列分别为:

ξ1

0.8

0.9

1.0

1.125

1.25

P

0.2

0.15

0.35

0.15

0.15

ξ2

0.8

0.96

1.0

1.2

1.44

P

0.3

0.2

0.18

0.24

0.08

)令AB分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,

 

P(A)0.150.150.3P(B)0.240.080.32,

 

可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.

 

)令η1表示方案所带来的效益,则

η1

10

15

20

P

0.35

0.35

0.3

η2

10

15

20

P

0.5

0.18

0.32

所以110×0.3515×0.3520×0.314.75

210×0.3515×0.1820×0.3214.75

【例7 (08·陕西)某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情

 

况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为(     )

 

A30 B25 C20 D15

 

【解】 设样本中松树苗的数量为,则30000(150)4000(x),解得x20.

 

 

 

【例8 (08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,

 

随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[4555][5565]

 

[6575][7585][8595),由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天

 

生产该产品数量在[5575),的人数是________.

 

【解】 20×(0.040×100.025×10)13.

 

点评:解答此类问题主要有三条途径:利用所有分组对应的频率之和为1利用公

 

式:频率=条形图的面积=纵坐标×横坐标,或利用公式频数=样本容量×频率;利用

 

频率分布图中相关数据;利用频率分布表绘制频率分布直方图.

 

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